Si l’on substitue ces valeurs dans l’expression de l’équation séculaire du moyen mouvement, on trouvera, après toutes les réductions, qu’elle se réduit à zéro.
J’ai cherché ensuite si, par de semblables substitutions, il ne serait pas possible de simplifier les expressions de l’accroissement de l’équation du centre et du mouvement de l’apogée, et j’ai trouvé qu’elles deviennent par là extrêmement simples et commodes pour le calcul :
Accroissement de l’équation du centre
![{\displaystyle =\alpha e'\delta \mu '\sin \mathrm {V} i.360^{\circ }\left[b_{1}\left(1+z^{2}\right)-3bz\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a985b904c1c83c590fa5620f060906cdfdb5e9de)
Mouvement de l’apogée suivant l’ordre des signes
![{\displaystyle =\delta \mu 'i.360^{\circ }\left\{{\frac {1}{4}}zb_{1}-{\frac {{\cfrac {1}{2}}\alpha e'}{\alpha e}}\cos \mathrm {V} \left[b_{1}\left(1+z^{2}\right)-3bz\right]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d631335c036d9ed305dfcdca3e06cf9feb1ab9)
Si l’on joint à ces formules celles du mouvement rétrograde des nœuds de l’orbite et de la diminution séculaire de son inclinaison sur le plan fixe, on aura toutes les inégalités séculaires du mouvement moyen des planètes exprimées par des formules aussi simples qu’on puisse le désirer, en sorte qu’il ne reste plus de difficulté que dans la détermination de 
et 
mais les géomètres ont imaginé pour cela différentes méthodes qu’il serait inutile de rapporter ici.
Je puis me servir, pour prouver l’exactitude des calculs précédents, de la méthode dont j’ai fait usage, article LVIII, dans le cas particu-
