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on aura donc

$\delta \mu na^{2}\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)+\delta \mu 'n'a'^{2}\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e'^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma '^{2}\right)=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante ; or on a

${\frac {1}{a^{3}}}=n^{2}\qquad$et$\qquad {\frac {1}{a'^{3}}}=n'^{2}\,;$

l’équation précédente deviendra, par conséquent.

$n^{-{\frac {1}{3}}}\delta \mu \left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)+n'^{-{\frac {1}{3}}}\delta \mu '\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e'^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma '^{2}\right)=\mathrm {C} .$

Si l’on suppose actuellement qu’après plusieurs siècles, les orbites des deux planètes changent par leur action mutuelle, et que l’on exprime par la caractéristique $\delta$ les variations de leurs éléments, on différenciera l’équation précédente par rapport à $\delta ,$ en regardant $\mathrm {C}$ comme constante ; ce qui établit une relation entre les inégalités des deux planètes, relation à laquelle les observations doivent satisfaire, si ces planètes n’ont éprouvé d’autre action sensible que leur gravitation réciproque. On aura donc

(Z)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{3}}\delta \mu &n^{-{\frac {4}{3}}}\delta n\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)\\&+{\frac {1}{3}}\delta \mu 'n'^{-{\frac {4}{3}}}\delta n'\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e'^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma '^{2}\right)\\&+n^{-{\frac {1}{3}}}\delta \mu \left(\alpha ^{2}e\delta e+\alpha ^{2}\gamma \delta \gamma \right)\\&\qquad \qquad +n'^{-{\frac {1}{3}}}\delta \mu '\left(\alpha ^{2}e'\delta e'+\alpha ^{2}\gamma '\delta \gamma '\right)=0.\end{aligned}}\right.$

Si l’on nomme $\mathrm {T}$ le temps après lequel on suppose que les éléments $n,e,\gamma ,n',e'$ et $\gamma '$ ont varié des quantités $\delta n,\delta e,\delta \gamma ,\delta n',\delta e'$ et $\delta \gamma ',$ et que l’on suppose que durant ce temps Jupiter ait fait $i$ révolutions, on aura (voir le Mémoire de M. de Lagrange)

${\begin{alignedat}{2}2\delta \alpha e=&\ \quad {\frac {7''{,}4254i}{57^{\circ }17'44''}}i,\qquad &2\delta \alpha e'=&-{\frac {32''{,}6086}{57^{\circ }17'44''}}i{\frac {n'}{n}},\\\delta \alpha \gamma =&-{\frac {1''{,}0030}{57^{\circ }17'44''}}i,&\delta \alpha \gamma '=&\ \quad {\frac {2''{,}7449}{57^{\circ }17'44''}}i{\frac {n'}{n}}.\end{alignedat}}$