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on aura

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}\delta \lambda }{dt^{2}}}+{\frac {2d\lambda d\delta r}{rdt^{2}}}+{\frac {2drd\delta \lambda }{rdt^{2}}}+{\frac {c^{2}\delta \lambda }{r^{4}}}+{\frac {4c^{2}\lambda \delta r}{r^{5}}}\\&\quad +\mathrm {E} n^{2}\delta \mu '\sin(nt+\theta )+\mathrm {F} n^{2}\delta \mu '\cos(nt+\theta ).\end{aligned}}$

Soit

$\delta \lambda =\delta \mu 'gnt\sin(nt+\theta )+\delta \mu 'fnt\cos(nt+\theta ),$

et l’on trouvera, en substituant dans l’équation précédente, au lieu de $\delta \lambda ,$ cette valeur, et, au lieu de $\delta r,$ sa valeur ci-dessus,

$f={\frac {1}{2}}\mathrm {E} +2\gamma \mathrm {A} \qquad$et$\qquad g=-{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \,;$

partant,

${\begin{aligned}\alpha \lambda =&\alpha \gamma \sin(nt+\theta )+\alpha \delta \mu 'nt\left(2\mathrm {A} \gamma +{\frac {1}{2}}\mathrm {E} \right)\cos(nt+\theta )\\&-{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \delta \mu 'nt\sin(nt+\theta ),\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$s=\left(\alpha \gamma -{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \delta \mu 'nt\right)\sin \left[nt\left(1+2\mathrm {A} \delta \mu '+{\frac {\mathrm {E} \delta \mu '}{2\gamma }}\right)+\theta \right].$

La diminution de l’inclinaison de l’orbite de $p$ sur le plan fixe sera donc ${\frac {1}{2}}\mathrm {F} \delta \mu 'i.360^{\circ },$ et le mouvement rétrograde de ses nœuds sur le même plan ${\frac {\mathrm {E} \delta \mu '}{2\gamma }}i.360^{\circ }.$ Il ne s’agit donc plus que de déterminer $\mathrm {E}$ et $\mathrm {F} \,;$ or, en nommant $\mathrm {I}$ la longitude du nœud de $p'$ sur le plan fixe, moins celle du nœud de $p$ à l’origine du mouvement, j’ai trouvé

Diminution séculaire de inclinaison de l’orbite $p$ sur le plan fixe

$={\frac {zb_{1}}{4}}\alpha \gamma '\sin \mathrm {I} \delta \mu 'i.360^{\circ }$

et

$\qquad \qquad$ Mouvement rétrograde de ses nœuds sur le même plan

$={\frac {zb_{1}}{4}}\delta \mu '\left(1-{\frac {\gamma '}{\gamma }}\cos \mathrm {I} \right)i.360^{\circ }.$

Ces formules du mouvement du nœud et de la variation de l’inclinaison s’accordent avec celles de M. de Lagrange, et avec celles que M. Euler a données dans sa première pièce sur Jupiter et Saturne ; car