Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/259

(C), etc. J’y suppose d’abord $\delta m'=0\,;$ elles deviennent

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c}{r^{2}}},$

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {c}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {S} +p}{r^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\\0=&{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {2dsdr}{rdt^{2}}}+{\frac {c^{2}s}{r^{4}}}.\end{aligned}}$

Au lieu de supposer, comme précédemment, $s=0,$ je le supposerai de l’ordre de $\alpha ,$ et je ferai $s=\alpha \lambda ,\ s'=\alpha \lambda '.$ Il est clair que les trois équations précédentes sont celles d’une ellipse projetée sur un plan fixe, et l’on aura, aux quantités près de l’ordre de $\alpha ^{3},$

$s=\alpha \gamma \sin(\varphi +\varpi )\qquad s'=\alpha \gamma '\sin(\varphi '+\varpi '),$

$\alpha \gamma$ et $\alpha \gamma '$ étant les tangentes des inclinaisons des orbites de $p$ et $p'$ ?’sur le plan fixe. Cela posé, l’équation (C) donne

(10)

$\left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}\delta \lambda }{dt^{2}}}+{\frac {2d\lambda d\delta r}{rdt^{2}}}+{\frac {2drd\delta \lambda }{rdt^{2}}}+{\frac {c^{2}\delta \lambda }{r^{4}}}-{\frac {4c^{2}\delta r\lambda }{r^{5}}}\\&-{\frac {2c\lambda }{r^{4}}}\delta m'\int rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right]\\&+{\frac {\delta m'}{r}}\left[\lambda '-\lambda \cos(\varphi '-\varphi )\right]\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right].\end{aligned}}\right.$

Je ne ferai attention qu’aux termes de la forme

$\cos(nt+\theta )\quad$et$\quad \sin(nt+\theta ),$

$\theta$ étant la quantité dont la planète est plus avancée que son nœud lorsque $t=0\,;$ soit donc, en poussant la précision jusqu’aux quantités de l’ordre de $\alpha \delta \mu '$ exclusivement,

${\begin{aligned}&-{\frac {2c\lambda }{r^{4}}}\delta m'\int rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right]\\&+{\frac {\delta m'}{r}}\left[\lambda '-\lambda \cos(\varphi '-\varphi )\right]\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right]\\&\quad =\mathrm {E} n^{2}\delta \mu '\sin(nt+\theta )+\mathrm {F} n^{2}\delta \mu '\cos(nt+\theta )\,;\end{aligned}}$