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partant, on aura

(A)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {1}{r^{2}}}\left\{c-\int p'rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right]\right\},$

(B)

$\left\{{\begin{aligned}&0={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\left\{c-\int p'rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right]\right\}^{2}\\&+{\frac {\mathrm {S} +p}{r^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {p'r}{v^{3}}}+p'\cos(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right],\end{aligned}}\right.$

(C)

$\left\{{\begin{aligned}0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}&+{\frac {2dsdr}{rdt^{2}}}\\&+{\frac {s}{r^{4}}}\left\{c-\int p'rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right]\right\}^{2}\\&+{\frac {p'}{r}}\left[s'-s\cos(\varphi '-\varphi )\right]\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right].\end{aligned}}\right.$

Je supposerai les masses des planètes infiniment petites par rapport à celle du Soleil ; je ferai ainsi $p=\delta m$ et $p'=\delta m',$ la caractéristique $\delta$ désignant une différence infiniment petite. Je prendrai ensuite pour plan de projection le plan de l’orbite primitive de $p,$ ce qui rend $s$ infiniment petit, et permet de négliger son carré.

Cela posé, j’observe d’abord que les orbites des planètes sont fort peu inclinées les unes aux autres, et qu’elles ont fort peu d’excentricité ; ainsi, en supposant à une quantité très petite, je supposerai l’excentricité et l’inclinaison de l’ordre $\alpha \,;$ je me contenterai de pousser la précision jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2}\delta m'$ inclusivement.

Si l’on intègre présentement les deux équations

(4)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c}{r^{2}}},$

(5)

$0={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {S} +\delta m}{r^{2}}},$

elles donneront. comme l’on sait,

$\varphi =nt+\mathrm {A} '-2\alpha e\sin(nt+\varepsilon )+{\frac {5}{4}}\alpha ^{2}e^{2}\sin 2(nt+\varepsilon )+\ldots$

et

$r=a\left[1+{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}+\alpha e\cos(nt+\varepsilon )-{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}\cos 2(nt+\varepsilon )+\ldots \right].$