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Je dois observer ici que, quoique les formules auxquelles je parviens renferment des termes proportionnels au temps et au carré du temps, je ne prétends pas, cependant, que ces termes se rencontrent dans l’expression rigoureuse du mouvement des planètes ; il peut arriver, en effet, qu’ils soient produits par le développement des sinus et cosinus de très petits angles, en séries ; mon objet ici n’est point d’entrer dans cette discussion, très intéressante du côté de l’Analyse, mais qui devient inutile pour tout le temps durant lequel l’Astronomie a été cultivée. On peut consulter, sur cette matière, un fort beau Mémoire de \mathrm M. de Condorcet, qui a pour titre : Réflexions sur les méthodes d’approximation^[1].

LIII.

Je reprends les équations (1), (2) et (3) de l’article XXXIX.

(1)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {1}{r^{2}}}\left(c+\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right),$

(2)

$0={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\left(c+\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right)^{2}-{\frac {\psi ''}{\mathrm {M} }},$

(3)

$0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {2dsdr}{rdt^{2}}}+{\frac {s}{r^{4}}}\left(c+\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right)^{2}+{\frac {s\psi ''-\psi }{\mathrm {M} r}}.$

J’imagine ensuite une autre planète $p',$ et je désigne pour cette planète par $\varphi ',r'$ et $s'$ ce que j’ai nommé <$\varphi ,r$ et $s$ pour $p\,;$ soient de plus $p$ et $p'$ les masses des deux planètes $p,p',$ et $v$ leur distance mutuelle ; soit encore $\mathrm {S}$ la masse du Soleil. Cela posé, on trouvera

${\begin{aligned}-{\frac {\psi ''}{\mathrm {M} }}=&{\frac {\mathrm {S} +p}{r^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+p'{\frac {\cos(\varphi '-\varphi )}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {p'}{v^{3}}}\left[r-r'\cos(\varphi '-\varphi )\right],\\-{\frac {\psi 'r}{\mathrm {M} }}=&p'r\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right],\\-{\frac {\psi }{\mathrm {M} }}=&{\frac {(\mathrm {S} +p)s}{r^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {p's'}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {p'}{v^{3}}}(rs-r's')\,;\end{aligned}}$

1. Mémoires de l’Académie, année 1771, p. 281.