Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/245

partant

$cdt={\frac {d\varphi }{\left[{\cfrac {\mathrm {S} }{c^{2}}}+\mathrm {K} \cos(\varphi +\varepsilon )\right]^{2}}}+{\frac {{\cfrac {\text{ϐ}}{c}}\varphi d\varphi }{\left[{\cfrac {\mathrm {S} }{c^{2}}}+\mathrm {K} \cos(\varphi +\varepsilon )\right]^{2}}}-{\frac {4{\cfrac {\mathrm {S} }{c^{2}}}{\cfrac {\text{ϐ}}{c}}\varphi d\varphi }{\left[{\cfrac {\mathrm {S} }{c^{2}}}+\mathrm {K} \cos(\varphi +\varepsilon )\right]^{3}}}.$

Soit

${\frac {1}{\left[{\cfrac {\mathrm {S} }{c^{2}}}+\mathrm {K} \cos(\varphi +\varepsilon )\right]^{2}}}=\mathrm {A+B} \cos(\varphi +\varepsilon )+\mathrm {C} \cos 2(\varphi +\varepsilon )+\ldots$

et

${\frac {1}{\left[{\cfrac {\mathrm {S} }{c^{2}}}+\mathrm {K} \cos(\varphi +\varepsilon )\right]^{3}}}=\mathrm {A'+B'} \cos(\varphi +\varepsilon )+\mathrm {C} '\cos 2(\varphi +\varepsilon )+\ldots .$

Donc

${\begin{aligned}ct=&\mathrm {A\varphi +B} \sin(\varphi +\varepsilon )+\ldots \\&+{\frac {\text{ϐ}}{2c}}\mathrm {A} \varphi ^{2}+{\frac {\text{ϐ}}{c}}\mathrm {B} \varphi \sin(\varphi +\varepsilon )+\ldots -{\frac {2{\text{ϐ}}}{c}}\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {S} }{c^{2}}}\varphi ^{2}-\ldots .\end{aligned}}$

Soit $\varepsilon =0,$ le passage au périhélie aura lieu lorsque $\varphi =0,\ \varphi =360^{\circ },$$\varphi =2.360^{\circ },\ldots .$ Nommant donc $'\mathrm {T}$ le temps d’une révolution, et $'\mathrm {T} '$ le temps de la révolution suivante, l’une et l’autre à compter du passage par le périhélie, on aura

$\mathrm {\frac {'T-'T'}{'T}} =3{\frac {\text{ϐ}}{c}}\left({\frac {360^{\circ }}{57^{\circ }17'44''}}\right)\left(\mathrm {\frac {2A'}{A}} {\frac {\mathrm {S} }{c^{2}}}-{\frac {1}{2}}\right).$

Il ne s’agit plus maintenant que de connaître $\mathrm {A,A'}$ et ${\frac {\text{ϐ}}{c}}\,;$ or, puisque l’on a

${\frac {\mathrm {S} }{c^{2}}}={\frac {1}{a\left(1-e^{2}\right)}}$

et

$\mathrm {K} ={\frac {e}{a\left(1-e^{2}\right)}},$

on aura (voir le Calcul intégral de M. Euler)

$\mathrm {A} =a^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}$

et

$\mathrm {A} '=a^{3}{\sqrt {1-e^{2}}}\left(A+{\frac {1}{2}}e^{2}\right).$