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et

$\int \varphi ^{n}d\varphi \sin \varphi =-\varphi ^{n}\cos \varphi +n\varphi ^{n-1}\sin \varphi +n(n-1)\varphi ^{n-2}\cos \varphi -\ldots \,;$

partant

$\sin \varphi \int \varphi ^{n}d\varphi \cos \varphi -\cos \varphi \int \varphi ^{n}d\varphi \sin \varphi$

$=\varphi ^{n}-n(n-1)\varphi ^{n-2}+n(n-1)(n-2)(n-3)\varphi ^{n-4}-\ldots \,;$

d’où il est facile de conclure

$z=\mathrm {K} \cos(\varphi +\varepsilon )+{\frac {\mathrm {S} }{c^{2}}}\left[1+{\frac {2{\text{ϐ}}}{c}}\varphi +{\frac {3{\text{ϐ}}^{2}}{c^{2}}}\left(\varphi ^{2}-1.2\right)+{\frac {4{\text{ϐ}}^{3}}{c^{3}}}\left(\varphi ^{3}-2.3\varphi \right)+\ldots \right].$

Maintenant, puisque l’on a

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{c-{\text{ϐ}}\varphi }}$

et

$r={\frac {1}{z}}={\frac {1}{\mathrm {K} \cos(\varphi +\varepsilon )+{\cfrac {\mathrm {S} }{c^{2}}}\left(1+{\cfrac {2{\text{ϐ}}}{c}}\varphi +\ldots \right)}},$

on aura $t$ en $\varphi \,;$ partant $\varphi$ en $t,$ par le retour des suites ; d’où il sera aisé de conclure $r$ en $t.$

Si l’on nomme $a$ le demi grand axe d’une ellipse, $ae$ son excentricité, $\varepsilon$ la distance de la planète qui circule dans cette ellipse au périhélie, lorsque $\varphi =0,$ on aura

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos(\varphi +\varepsilon )}}\,;$

partant, si l’on considère l’orbite de la planète $p$ comme une ellipse dont le demi grand axe et l’excentricité varient, on aura

${\frac {1}{a\left(1-e^{2}\right)}}={\frac {\mathrm {S} }{c^{2}}}\left(1+{\frac {2{\text{ϐ}}}{c}}\varphi +\ldots \right)$

Je n’aurai égard ici qu’aux quantités de l’ordre de ϐ, et je désignerai par $\delta a$ et $\delta e$ les variations extrêmement petites de $a$ et de $e\,;$ cela posé,