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sentement une méthode pour déterminer ces variations, quelle que soit l’excentricité des orbites.

Je reprends les équations

(3)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {1}{r^{2}}}\left(c-\int {\frac {\alpha \mathrm {ST} d\varphi }{\theta }}\right),$

(4)

$0={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}+{\frac {\alpha \mathrm {ST} dr}{\theta r^{2}dt}}.$

Puisque $\theta$ est supposé constant, on aura

$\int {\frac {\alpha \mathrm {ST} d\varphi }{\theta }}={\frac {\alpha \mathrm {ST} \varphi }{\theta }}.$

Soit

${\frac {\alpha \mathrm {ST} }{\theta }}={\text{ϐ}}\,;$

l’équation (3) devient ainsi

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c-{\text{ϐ}}\varphi }{r^{2}}}\,;$

l’équation (4) donne celle-ci,

$0=d\left({\frac {dr}{dt}}\right)-r{\frac {d\varphi ^{2}}{dt}}+i{\frac {\mathrm {S} dt}{r^{2}}}+{\text{ϐ}}{\frac {dr}{r^{2}}},$

équation dans laquelle je puis faire varier $dt\,;$ or, si l’on y substitue au lieu de $dt$ sa valeur ${\frac {r^{2}d\varphi }{c-{\text{ϐ}}\varphi }},$ et que l’on fasse ${\frac {1}{r}}=z,$ on aura, en supposant $d\varphi$ constant,

${\frac {d^{2}z}{d\varphi }}+zd\varphi ={\frac {\mathrm {S} d\varphi }{\left(c-{\text{ϐ}}\varphi \right)^{2}}},$

ce qui donne, en intégrant,

$z=\sin \varphi \int {\frac {\mathrm {S} d\varphi \cos \varphi }{\left(c-{\text{ϐ}}\varphi \right)^{2}}}-\cos \varphi \int {\frac {\mathrm {S} d\varphi \sin \varphi }{\left(c-{\text{ϐ}}\varphi \right)^{2}}}.$

Comme il paraît très difficile d’intégrer rigoureusement ces quantités, je les réduis en séries ; or on a

${\begin{aligned}\int \varphi ^{n}d\varphi \cos \varphi =&\varphi ^{n}\sin \varphi +n\varphi ^{n-1}\cos \varphi -n(n-1)\varphi ^{n-2}\sin \varphi \\&-n(n-1)(n-2)\varphi ^{n-3}\cos \varphi +\ldots \end{aligned}}$