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d’où je tire, en intégrant,

$y=\mathrm {K} \cos \left({\frac {c}{a^{2}}}t+\varepsilon \right)-{\frac {2c}{a^{2}}}{\frac {a}{\theta }}\mathrm {T} nt,$

$\mathrm {K}$ et $\varepsilon$ étant arbitraires. Pour les déterminer, je supposerai que la droite $\mathrm {SM} ,$ sur laquelle je place le corpsp au premier instant du mouvement, soit le lieu de l’aphélie de l’orbite elliptique que $p$ aurait décrite, si l’on eût ${\frac {a}{\theta }}=0\,;$ donc, si l’on nomme $\alpha e$ le rapport de l’excentricité primitive à la distance moyenne, on aura

$\mathrm {K} =e\qquad$et$\qquad \varepsilon =0\,;$

partant

$r=a\left(1+\alpha e\cos {\frac {c}{a^{2}}}t-{\frac {2c}{a^{2}}}{\frac {\alpha a}{\theta }}\mathrm {T} nt\right).$

Présentement, l’équation (3) donne, en négligeant les quantités de l’ordre de $\alpha ^{2},$

$n+\alpha {\frac {dx}{dt}}={\frac {c}{a^{2}}}-{\frac {2c}{a^{2}}}\alpha y-{\frac {\alpha \mathrm {S} a\mathrm {T} nt}{a^{3}\theta }}.$

Soit

$n={\frac {c}{a^{2}}},$

partant

$n^{2}={\frac {c^{2}}{a^{4}}}={\frac {\mathrm {S} }{a^{3}}}\,;$

donc

${\frac {dx}{dt}}=-2ny-{\frac {an^{2}\mathrm {T} }{\theta }}nt.$

En substituant, au lieu de $y,$ sa valeur, et intégrant, on aura

$x=-2e\sin nt+{\frac {3}{2}}n\mathrm {T} {\frac {a}{\theta }}n^{2}t^{2}\,;$

donc

${\begin{aligned}r=&a\left(1+\alpha e\cos nt-{\frac {2a\alpha }{\theta }}Tn^{2}t\right),\\\varphi =&nt-2\alpha e\sin nt+{\frac {3}{2}}{\frac {a\alpha }{\theta }}\mathrm {T} n^{3}t^{2}\,;\end{aligned}}$

d’où il résulte que le mouvement moyen de $p$ est assujetti à une équation séculaire proportionnelle au carré du temps.