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Or, si on la décompose en deux, l’une $\mathrm {O} q,$ perpendiculaire à $p\mathrm {S} ,$ et l’autre suivant $\mathrm {O} p,$ on aura, pour la première,

${\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {T} \alpha rd\varphi }{\theta dt}}$

et, pour la seconde.

$-{\frac {\alpha \mathrm {ST} dr}{\theta r^{2}dt}}.$

De là, on conclura facilement

${\begin{aligned}{\frac {\psi ''}{p}}=&-{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}-{\frac {\alpha \mathrm {ST} dr}{\theta r^{2}dt}},\\{\frac {\psi '}{p}}=&-{\frac {\alpha \mathrm {ST} d\varphi }{\theta rdt}}\,;\end{aligned}}$

partant, on aura

(3)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {1}{r^{2}}}\left(c-\int {\frac {\alpha \mathrm {ST} d\varphi }{\theta }}\right),$

(4)

$0={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\left(c-\int {\frac {\alpha \mathrm {ST} d\varphi }{\theta }}\right)^{2}+{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}+{\frac {\alpha \mathrm {ST} dr}{\theta r^{2}dt}}.$

Puisque les orbites des planètes sont presque circulaires, je fais

$r=a(1+\alpha y)\qquad$et$\varphi =nt+\alpha x\,;$

ainsi, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ je puis supposer $\theta$ constant, ce qui donne

$\int {\frac {\alpha \mathrm {ST} d\varphi }{\theta }}={\frac {\alpha \mathrm {ST} nt}{\theta }},$

en faisant commencer l’intégrale avec $t\,;$ ensuite l’équation (4) donne

$0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\mathrm {S} }{a^{3}}}-{\frac {c^{2}}{a^{4}}}\right)+\left({\frac {3c^{2}}{a^{4}}}-{\frac {2\mathrm {S} }{a^{3}}}\right)y+{\frac {2\mathrm {S} }{a^{3}}}{\frac {c\mathrm {T} }{a\theta }}nt.$

Il est clair que ${\frac {\mathrm {S} }{a^{3}}}-{\frac {c^{2}}{a^{4}}}$ doit être de l’ordre de $\alpha ,$ et, comme $a$ est arbitraire, je supposerai ${\frac {\mathrm {S} }{a^{3}}}={\frac {c^{2}}{a^{4}}},$ ce qui donne

$0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {c^{2}}{a^{4}}}y+{\frac {2c^{3}}{a^{6}}}{\frac {a}{\theta }}\mathrm {T} nt,$