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direction du rayon vecteur $\mathrm {S} p$ et de $\mathrm {S}$ vers $p\,;$ cela posé, on aura, par l’article XXXIX,

(1)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {1}{r^{2}}}\left(c+\int {\frac {\psi '}{p}}rdt\right),$

(2)

$0={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-\left(c+\int {\frac {\psi '}{p}}rdt\right)^{2}-{\frac {\psi ''}{p}}.$

Il s’agit présentement de déterminer $\psi '$ et $\psi ''\,;$ pour cela, soit $\mathrm {N}$ le corpuscule que je suppose faire graviter $p$ vers $\mathrm {S} \,;$ si $p$ était en repos, $\mathrm {N}$ lui communiquerait vers $\mathrm {S}$ la force ${\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}.$ Je représente par $p\mathrm {G}$ l’espace que décrirait ce corpuscule durant le temps que $p$ décrirait la droite

Fig. 2.

$p\mathrm {Q} ,$ tangente à son orbite, avec la vitesse qu’il a en $p.$ Si l’on fait $pq$ égal à $p\mathrm {Q} ,$ on peut considérer $\mathrm {N}$ comme animé des trois vitesses $p\mathrm {Q} ,pq$ et $p\mathrm {G} \,;$ il n’agit sur $p$ qu’en vertu des deux dernières ; en sorte que, par l’action de ce corpuscule, $p$ est animé d’une force ${\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}},$ dirigée de $p$ vers $\mathrm {S} ,$ et d’une force ${\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}{\frac {p\mathrm {Q} }{p\mathrm {G} }},$ dirigée de $p$ vers $q.$ Soit maintenant ${\frac {\theta }{\alpha }}$ l’espace que décrirait le corpuscule $\mathrm {N}$ dans le temps $\mathrm {T} ,$ avec la vitesse qu’il a en $\mathrm {N,\ T}$ et $\alpha$ étant constants, $\alpha$ étant un coefficient numérique extrêmement petit, et $\theta$ étant variable suivant une fonction quelconque de la distance de $p$ à $\mathrm {S} \,;$ on a

${\frac {p\mathrm {Q} }{p\mathrm {G} }}=\alpha \mathrm {T} {\frac {\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\varphi ^{2}}}{\theta dt}},$

$dt$ étant l’élément du temps que je regarde comme constant ; la force ${\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}{\frac {p\mathrm {Q} }{p\mathrm {G} }}$ est conséquemment égale à ${\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}\alpha \mathrm {T} {\frac {\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\varphi ^{2}}}{\theta dt}}.$