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XLI.

Dans l’application des équations précédentes à l’Astronomie physique, elles deviennent fort simples ; car, les corps célestes étant à très peu près sphériques, on peut négliger les quantités proportionnelles au carré de l’excentricité de ces corps ; or, les termes $(\psi \mathrm {Y} -\psi '\mathrm {Z} '),(\psi \mathrm {X} -\psi ''\mathrm {Z} '')$ et $(\psi '\mathrm {X} '-\psi ''\mathrm {Y} '')$ sont toujours de l’ordre de ces excentricités. D’ailleurs, l’état d’équilibre de toutes les parties d’une planète exige que le mouvement de rotation se fasse au moins à très peu près autour d’un de ses axes principaux, abstraction faite de l’action de toute force étrangère ; car, sans cela, la planète changeant à chaque instant d’axe et de vitesse de rotation, changerait continuellement de figure ; $d\varepsilon$ et $d\theta$ seraient donc nuls à très peu près si les quantités $(\psi \mathrm {Y} -\psi '\mathrm {Z} '),$$(\psi \mathrm {X} -\psi ''\mathrm {Z} '')$ et $(\psi '\mathrm {X} '-\psi ''\mathrm {Y} '')$ s’évanouissaient ; partant, ils sont du même ordre que ces quantités ; ainsi l’on peut négliger leurs carrés, leurs produits deux à deux, et les termes qui, multipliés par $d\varepsilon$ ou $d\theta ,$ le seraient encore par $\left(a^{2}-b^{2}\right)$ ou $\left(b^{2}-c^{2}\right)$ ou $\left(b^{2}-c^{2}\right).$

Soit donc

${\frac {\psi \mathrm {Y} -\psi '\mathrm {Z} '}{2\mathrm {M} a^{2}}}=\mathrm {R} ,\quad {\frac {\psi \mathrm {X} -\psi ''\mathrm {Z} ''}{2\mathrm {M} a^{2}}}=\mathrm {R} '\quad$et$\quad {\frac {\psi '\mathrm {X} '-\psi ''\mathrm {Y} ''}{2\mathrm {M} a^{2}}}=\mathrm {R} .$

On aura donc

${\begin{alignedat}{3}0=&\mathrm {R} dt^{2}&&-d\varepsilon d\theta &&+d(d\varpi \cos \theta ),\\0=&\mathrm {R} 'dt^{2}&&-d^{2}\theta &&-d\varepsilon d\varpi \cos \theta ),\\0=&\mathrm {R} ''dt^{2}&&-d^{2}\varepsilon &&+d(d\varpi \sin \theta ).\end{alignedat}}$

Ces équations sont sous une forme aussi simple que l’on puisse désirer, et, en les joignant à celles-ci.

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=&{\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathrm {C} +\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right),\\0=&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathrm {C} +\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right)^{2}-{\frac {\psi ''}{\mathrm {M} }},\\0=&{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {2dsdr}{dt^{2}}}+{\frac {s}{r^{4}}}\left(\mathrm {C} +\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right)^{2}-{\frac {\psi ''}{\mathrm {M} }}+{\frac {s\psi ''-\psi }{\mathrm {M} r}},\end{aligned}}$