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On a vu précédemment comment on pouvait avoir les racines de l’équation

$y^{m}=mpqy^{m-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}y^{m-4}+\ldots .$

Soit $y=f-r,$ et l’on aura

${\begin{aligned}f^{m}=&mrf^{m-1}-\left[r^{2}{\frac {m(m-1)}{1.2}}-pqm\right]f^{m-2}\\&+\left[r^{3}{\frac {m(m-1)(m-3)}{1.2.3}}-pqrm(m-2)\right]f^{m-3}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

équation qui est la même que l’équation $(\Lambda )\,;$ les différentes valeurs de $f$ sont par conséquent égales à celles de $y,$ augmentées de la quantité $r\,;$ présentement l’intégration de l’équation différentielle en $z_{x}$ n’a rien d’embarrassant.