Or, posant 
on a
donc 
et ainsi de suite ; enfin, 
On aura donc, en faisant 
et rejetant les termes, 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{m-1}}{_{x}}y=&mr.\sideset {_{m-1}}{_{x-1}}y-\left[r^{2}{\frac {m(m-1)}{1.2}}-pqm\right]\sideset {_{m-1}}{_{x-2}}y\\&+\left[r^{3}{\frac {m(m-1)(m-2)}{1.2.3}}-pqrm(m-2)\right]\sideset {_{m-1}}{_{x-3}}y\\&-\left[r^{4}{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{1.2.3.4}}-pqr^{2}{\frac {m(m-2)(m-3)}{1.2}}\right.\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+p^{2}q^{2}{\frac {m(m-3)}{1.2}}\right]\sideset {_{m-1}}{_{x-4}}y\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce777dcc354372d1f87cd7105ff8a64ada3fcf5)
Si l’on suppose 
on aura
la même équation que j’ai trouvée ci-dessus pour ce cas.
Si l’on nomme 
la probabilité de 
pour gagner avant ou au coup 
on aura
![{\displaystyle z_{x}=mrz_{x-1}-\left[r^{2}{\frac {m(m-1)}{1.2}}-pqm\right]z_{x-2}+\ldots +\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bfcd081bde94182249b51ab6e82968b15dcb08c)
étant une constante arbitraire.
Pareillement, si l’on nomme 
la probabilité de 
pour gagner avant ou au coup on aura
![{\displaystyle {\overset {1}{z}}_{x}=mr{\overset {1}{z}}_{x-1}-\left[r^{2}{\frac {m(m-1)}{1.2}}-pqm\right]{\overset {1}{z}}_{x-2}+\ldots +{\overset {1}{\mathrm {C} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05e73536ccd679ae84c2b14b250b1f6e831bf9e)
Pour intégrer ces équations, il faut avoir les racines de l’équation
![{\displaystyle (\Lambda )\qquad \qquad f^{m}=mrf^{m-1}-\left[r^{2}{\frac {m(m-1)}{1.2}}-pqm\right]f^{m-2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a607f7ddbb424a210ad176b97f41628f47e3dd4)
or voici comme on peut les déterminer.
