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donc $\mathrm {C} =0,$ partant,

$\sideset {^{2}}{_{n}}b={\frac {(n-3)(n-4)}{1.2}}p^{2}q^{3}.$

Si l’on intègre la sixième équation, on aura

$\sideset {^{2}}{_{n}}a={\frac {(n-3)(n-4)(n-5)}{1.2.3}}p^{3}q^{3}+\mathrm {C} \,;$

or on a

$\sideset {^{2}}{_{3}}a=\sideset {^{2}}{_{2}}a+\sideset {^{1}}{_{2}}b\qquad$et$\qquad \sideset {^{2}}{_{2}}a=\sideset {^{2}}{_{1}}a+\sideset {^{1}}{_{1}}b\,;$

donc $\sideset {^{2}}{_{3}}a=0,$ partant $\mathrm {C} =0,$ et ainsi du reste.

Enfin, on a $u_{n}=u_{n-1}p,$ donc $u_{n}=\mathrm {C} p^{n}\,;$ or, posant $n=1,\ u_{n}=0\,;$ donc $\mathrm {C} =0$ et $u_{n}=0\,;$ donc

${\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}\lambda &=(n-1)pq.\sideset {_{n}}{_{x-2}}\lambda -{\frac {(n-2)(n-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}.\sideset {_{n}}{_{x-4}}\lambda \\&+{\frac {(n-3)(n-4)(n-5)}{1.2.3}}p^{3}q^{3}.\sideset {_{n}}{_{x-6}}\lambda -\ldots \\&+q.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}\lambda -(n-2)pq^{2}.\sideset {_{n+1}}{_{x-3}}\lambda +{\frac {(n-3)(n-4)}{1.2}}p^{2}q^{3}.\sideset {_{n+1}}{_{x-5}}\lambda \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

Si l’on fait $n=i+m-1,$ on aura

$\sideset {_{i+m-1}}{_{x}}\lambda =\sideset {_{m-1}}{_{x}}y\qquad$et$\qquad \sideset {_{i+m}}{_{x}}\lambda =0\,;$

donc

$(\pi )$$\left\{{\begin{aligned}&\sideset {_{m-1}}{_{x}}y=(i+m-2)pq.\sideset {_{m-1}}{_{x-2}}y\\&\quad -{\frac {(i+m-3)(i+m-4)}{1.2}}p^{2}q^{2}.\sideset {_{m-1}}{_{x-4}}y\\&\quad +{\frac {(i+m-4)(i+m-5)(i+m-6)}{1.2.3}}p^{2}q^{2}.\sideset {_{m-1}}{_{x-6}}y-\ldots .\end{aligned}}\right.$

Si donc on nomme $z_{x}$ la probabilité que $\mathrm {A}$ gagnera avant ou au coup $x,$ on aura, par un procédé semblable à celui du Problème précédent,

$(\pi )\ \ z_{x}=(m+i-2)pq.z_{x-2}-{\frac {(m+i-3)(m+i-4)}{1.2}}p^{2}q^{2}.z_{x-4}+\ldots +\mathrm {C} .$

Pareillement, si l’on nomme ${\overset {1}{z}}_{x}$ la probabilité du joueur $\mathrm {B}$ pour