Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/200

$\mathrm {A} ,\mathrm {A} _{1},\ldots$ étant des constantes arbitraires qui se détermineront par la méthode de l’article IX.

XXXIV.

Problème XVIII. – J’ai supposé, dans le Problème précédent, que les deux joueurs \mathrm A et \mathrm B avaient un égal nombre $m$ d’écus ; je suppose actuellement que le joueur $\mathrm {A}$ ait $i$ écus, et le joueur $\mathrm {B} ,\ m$ écus ; le reste subsistant, comme ci-dessus, on demande la probabilité que le jeu finira avant, ou au nombre $x$ de coups.

Il est aisé de voir que l’on aura d’abord les équations $(\psi ')$ du Problème précédent. De plus, on aura les suivantes :

$(\psi '')\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&q.y\sideset {_{0}}{_{x-1}}y+p.\sideset {_{2}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}},\\\sideset {_{2}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&q.\sideset {_{1}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}}+p.\sideset {_{3}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}},\\\sideset {_{3}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&q.\sideset {_{2}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}}+p.\sideset {_{4}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{n}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&q.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}}+p.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{i-1}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&q.\sideset {_{i-2}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}}.\end{aligned}}\right.$

Soient

${\begin{alignedat}{3}\sideset {_{i-1}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&\sideset {_{1}}{_{x}}\lambda ,\qquad &\sideset {_{i-2}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&\ \ \sideset {_{2}}{_{x}}\lambda ,\qquad &\sideset {_{i-3}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&\ \ \sideset {_{3}}{_{x}}\lambda ,\qquad \ \ \ldots ,\\\sideset {_{0}}{_{x}}y=&\sideset {_{i}}{_{x}}\lambda ,&\sideset {_{1}}{_{x}}y=&\ \ \sideset {_{i+1}}{_{x}}\lambda ,&\sideset {_{2}}{_{x}}y=&\ \ \sideset {_{i+2}}{_{x}}\lambda ,\qquad \ldots ,\\\end{alignedat}}$

et l’on aura, en réunissant les équations $(\psi ')$ et $(\psi ''),$

${\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{x}}\lambda =&q.\sideset {_{2}}{_{x-1}}\lambda ,\\\sideset {_{2}}{_{x}}\lambda =&q.\sideset {_{3}}{_{x-1}}\lambda +p.\sideset {_{1}}{_{x-1}}\lambda ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{i+m-1}}{_{x}}\lambda =&p.\sideset {_{i+m-2}}{_{x-1}}\lambda .\end{aligned}}$

Soit

$(\Omega '')\quad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}\lambda =&a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}\lambda +\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-4}}\lambda +\sideset {^{2}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-6}}\lambda +\ldots +u_{n}\\&+b_{n}.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}\lambda +\sideset {^{1}}{_{n}}b.\sideset {_{n+1}}{_{x-3}}\lambda +\sideset {^{2}}{_{n}}b.\sideset {_{n+1}}{_{x-5}}\lambda +\ldots ,\end{aligned}}\right.$