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tion algébrique

$f^{\frac {m}{2}}=mpqf^{{\frac {m}{2}}-1}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}f^{{\frac {m}{2}}-2}+\ldots ,$

si $m$ est pair, ou de celle-ci

$f^{\frac {m-1}{2}}=mpqf^{{\frac {m-1}{2}}-1}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}f^{{\frac {m-1}{2}}-2}+\ldots ,$

si $m$ est impair.

Or, si l’on fait $\cos \varphi =y,$ on a, comme l’on sait,

$\cos m\varphi =2^{m-1}y^{m}-m2^{m-3}y^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{1.2}}2^{m-5}y^{m-4}-\ldots .$

Soit $\cos m\varphi =0,$ et l’on aura

$0=y^{m}-m{\frac {1}{4}}y^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{1.2}}{\frac {1}{4^{2}}}y^{m-4}-\ldots$

lorsque $m$ est pair, ou

$0=y^{m-1}-m{\frac {1}{4}}y^{m-3}+{\frac {m(m-3)}{1.2}}{\frac {1}{4^{2}}}y^{m-5}-\ldots$

lorsque $m$ est impair.

Les différentes valeurs de $y$ dans cette équation sont les cosinus des différents arcs, qui, multipliés par $m,$ ont leurs cosinus égaux à zéro ; or les arcs qui ont leurs cosinus nuls sont ${\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{2}},\ldots ,\ \pi$ exprimant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. Les différentes valeurs de $y$ sont, conséquemment, plus et moins les cosinus des arcs ${\frac {\pi }{2m}},{\frac {3\pi }{2m}},{\frac {5\pi }{2m}},\ldots$ jusqu’à ${\frac {(m-1)\pi }{2m}}$ ou ${\frac {(m-2)\pi }{2m}}$ inclusivement, suivant que $m$ est pair ou impair ; les cosinus des arcs suivants étant les mêmes, à la différence des signes près, celui de ${\frac {\pi }{2}}$ étant nul ; soient donc $l,l_{1},l_{2},\ldots$ ces différents cosinus, les valeurs de $y$ seront donc $\pm l,\pm l_{1},\ldots .$ Or il est aisé de voir que $f=4y^{2}pq,$ partant, les différentes valeurs de $f$ seront $4l^{2}pq,\ 4l_{1}^{2}pq,\ldots ,$ d’où l’on aura

$t_{x}=\mathrm {A} \left(2l{\sqrt {pq}}\right)^{x}+\mathrm {A} _{1}\left(2l_{1}{\sqrt {pq}}\right)^{x}+\ldots ,$