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exister lorsque $m=2\,;$ la seconde, lorsque $m=3\,;$ la troisième, lorsque $m=4.$ etc.

Cela posé, en intégrant la première, on a

$\mathrm {A} _{m}=mpq+\mathrm {C} ..$

Or, posant $m=2,$ on a

$\mathrm {A} _{2}=2pq\,;$

donc $\mathrm {C} =0.$

Ensuite, la seconde donne

$\sideset {^{1}}{_{m}}{\mathrm {A} }=-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}+\mathrm {C} \,;$

or, posant $m=3,\ \sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {A} }=0,$ parce que $(p+q)$ ne peut avoir d’exposant négatif dans la formule $(\tau )\,;$ donc $\mathrm {C} =0,$ et ainsi du reste. Donc

$(p+q)^{m}=mpq(p+q)^{m-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}(p+q)^{m-4}+\ldots +p^{m}+q^{m}\,;$

ainsi l’on aura

$(\delta )\qquad \qquad t_{x}=mpqt_{x-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}t_{x-4}+\ldots .$

Pour intégrer cette équation, je commence par observer qu’elle est différentielle de l’ordre ${\frac {m}{2}}$ ou ${\frac {m-1}{2}}$ suivant que $m$ est pair ou impair. De plus, il est aisé de voir, à l’inspection des équations $(\psi '),$ qu’elle commence à exister lorsque $x=m.$ Ainsi, les constantes arbitraires qui viennent par l’intégration doivent être déterminées par les valeurs de $t_{x},$ lorsqu’on fait $x=0,\ x=2,$$\ x=4,\ldots ,x=m-2$ ou $x=1,\ x=3,\ x=5,\ldots ,$$x=m-2,$ suivant que $m$ est pair ou impair. Or, toutes ces valeurs sont égales à l’unité, puisqu’il est certain que le jeu ne peut finir avant $m$ coups.

Présentement, si l’on suppose $x'$ égal à ${\frac {x}{2}}$ ou ${\frac {x-1}{2}},$ suivant que $m$ est pair ou impair, on aura

$t_{x'}=mpqt_{x'-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}t_{x'-4}+\ldots .$

L’intégrale de cette équation dépend de la résolution de cette équa-