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férentes valeurs numériques, mais en voici une démonstration générale. On a

${\begin{aligned}p+q\ \ \ =&p+q,\\(p+q)^{2}=&2pq(p+q)^{0}+p^{2}+q^{2},\\(p+q)^{3}=&3pq(p+q)\ +p^{3}+q^{3},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Soit donc, en général,

$(\tau )\qquad (p+q)^{m}=\mathrm {A} _{m}(p+q)^{m-2}+\sideset {^{1}}{_{m}}{\mathrm {A} }(p+q)^{m-4}+\ldots +p^{m}+q^{m},,$

et l’on aura

${\begin{aligned}(p+q)^{m+1}=&\mathrm {A} _{m}(p+q)^{m-1}+\sideset {^{1}}{_{m}}{\mathrm {A} }(p+q)^{m-3}+\ldots \\&+p^{m+1}+q^{m+1}+pq\left(p^{m-1}+q^{m-1}\right).\end{aligned}}$

Or on a

$p^{m-1}+q^{m-1}=(p+q)^{m-1}-\mathrm {A} _{m-1}(p+q)^{m-3}-\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}(p+q)^{m+1}=&\left(\mathrm {A} _{m}+pq\right)(p+q)^{m-1}\\&+\left(\sideset {^{1}}{_{m}}{\mathrm {A} }-\mathrm {A} _{m-1}pq\right)(p+q)^{m-3}+\ldots +p^{m+1}+q^{m+1}.\end{aligned}}$

On a d’ailleurs

$(p+q)^{m+1}=\mathrm {A} _{m+1}(p+q)^{m-1}+\sideset {^{1}}{_{m+1}}{\mathrm {A} }(p+q)^{m-3}+\ldots +p^{m+1}+q^{m+1}\,;$

d’où, en comparant, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{m+1}=&\ \mathrm {A} _{m}+pq,\\\sideset {^{1}}{_{m+1}}{\mathrm {A} }=&\sideset {^{1}}{_{m}}{\mathrm {A} }-\mathrm {A} _{m-1}pq,\\\sideset {^{2}}{_{m+1}}{\mathrm {A} }=&\sideset {^{2}}{_{m}}{\mathrm {A} }-\sideset {^{1}}{_{m-1}}{\mathrm {A} }pq,\\\end{aligned}}$

Toutes ces équations ne peuvent commencer à exister à la fois ; la première ne commence à avoir lieu que lorsque $m=1\,;$ la seconde, lorsque $m=2\,;$ la troisième, lorsque $m=3\,;$ etc. De plus, comme elles supposent nécessairement connues les expressions de $p+q$ et $(p+q)^{2},$ pour déterminer ensuite, à leur moyen, $(p+q)^{3},(p+q)^{4},\ldots ,$ il résulte que la loi représentée par ces équations commence à avoir lieu lorsque $m+1=3\,;$ ainsi, la première équation commence à