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partant,

$u_{x}=p\left(1+{\frac {q^{m}}{p^{m}}}\right)\sideset {_{m-1}}{_{x-1}}y.$

Soit $z_{x}$ la probabilité que le jeu finira avant ou au coup $x,$ on aura

$\Delta z_{x}=u_{x+1}=p\left(1+{\frac {q^{m}}{p^{m}}}\right)\sideset {_{m-1}}{_{x}}y\,;$

en substituant donc, au lieu de $\sideset {_{m-1}}{_{x}}y,$ cette valeur dans l’équation $({\underline {\omega }}),$ on aura, après avoir intégré,

$(\varpi )\qquad \quad \left\{{\begin{aligned}z_{x}=mpqz_{x-2}&-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}z_{x-4}\\&+{\frac {m(m-3)(m-5)}{1.2.3}}p^{3}q^{3}z_{x-6}-\ldots +\mathrm {C} .\end{aligned}}\right.$

Pour déterminer la constante arbitraire $\mathrm {C} ,$ j’observe que, tant que $x$ est moindre que $m,\ z_{x}$ égale $0,$ et que $x$ étant égal à $m,\ z_{x}$ égale $p^{m}+q^{m}\,;$ donc,

$\mathrm {C} =p^{m}+q^{m}.$

Soit $1-t_{x}=z_{x}\,;\ t_{x}$ exprimera conséquemment la probabilité que le jeu ne finira pas avant ou au coup $x,$ et l’on aura

${\begin{aligned}t_{x}=&mpqt_{x-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}t_{x-4}+\ldots \\&-p^{m}-q^{m}+\left[1-mpq+{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}-\ldots \right].\end{aligned}}$

Or il est remarquable que l’on a, quel que soit $m,$ et en supposant $p+q=1,$

$0=1-p^{m}-q^{m}-mpq+{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}-\ldots ,$

ou, généralement, en supposant $p$ et $q$ quelconques,

$(p+q)^{m}=mpq(p+q)^{m-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}(p+q)^{m-4}+\ldots +p^{m}+q^{m}\,;$

c’est ce dont on pourrait s’assurer par induction, en donnant à $m$ dif-