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Cela posé, si l’on intègre la deuxième équation, on aura

$a_{n}=n+\mathrm {C} ,,$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire ; or, posant $n=1,$ on a

$a_{n}=2,\qquad$donc$\qquad \mathrm {C} =1\,;$

partant

$\sideset {^{1}}{_{n}}b=-a_{n-1}=-n.$

On doit observer que cette équation ne commence à exister que lorsque $n=2\,;$ or, $n$ étant $1,$ on a

$\sideset {^{1}}{_{1}}b=0,\qquad \sideset {^{2}}{_{1}}b=0,\qquad \ldots ,$

de plus, en faisant $n=2,$ on a

$\sideset {^{2}}{_{2}}b=-\sideset {^{1}}{_{1}}a=0\,;$

semblablement,

$\sideset {^{3}}{_{2}}b=0,\qquad \sideset {^{4}}{_{2}}b=0,\qquad \ldots ,\qquad \sideset {^{1}}{_{2}}a=\sideset {^{1}}{_{1}}a+\sideset {^{1}}{_{1}}b=0\,;$

pareillement,

$\sideset {^{2}}{_{2}}a=0,\qquad \sideset {^{3}}{_{2}}a=0,\qquad \ldots .$

Si l’on intègre la quatrième équation, on aura

$\sideset {^{1}}{_{n}}a=-{\frac {(n+1)(n-2)}{1.2}}+\mathrm {C} \,;$

pour déterminer la constante $\mathrm {C} ,$ on se servira de la valeur de $\sideset {^{1}}{_{2}}a\,;$ or, on a

$\sideset {^{1}}{_{2}}a=0,\qquad$donc$\qquad \mathrm {C} =0\,;$

partant

$\sideset {^{2}}{_{n}}b={\frac {n(n-3)}{1.2}}\,;$

cette expression de $\sideset {^{2}}{_{n}}b$ ne peut commencer à avoir lieu, par les remarques précédentes, que lorsque $n=3\,;$ de plus, en faisant $n=3,$ on a

$\sideset {^{3}}{_{3}}b=-\sideset {^{2}}{_{2}}a=0\,;$

pareillement,

$\sideset {^{4}}{_{3}}b=0,\qquad \sideset {^{5}}{_{3}}b=0,\qquad \ldots ,\qquad \sideset {^{2}}{_{3}}a=\sideset {^{2}}{_{2}}a+\sideset {^{2}}{_{2}}b=0\,;$

pareillement,

$\sideset {^{3}}{_{3}}a=0,\qquad \sideset {^{4}}{_{3}}a=0,\qquad \ldots .$