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et si l’on fait $n=1,$ on a

$\mathrm {A} _{n}={\frac {1}{2}},$

parce que $\sideset {_{1}}{_{x}}y={\frac {1}{2^{x-1}}}\,;$ donc

${\text{ϐ}}{\sqrt {2}}\sin q={\frac {1}{2}}\qquad$et$\qquad {\text{ϐ}}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}\sin q}}\,;$

partant

$\mathrm {A} _{n}=2^{\frac {n-3}{2}}{\frac {\sin nq}{\sin q}}.$

L’équation

$2\mathrm {N} _{n}={\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n-1}}{p}}$

donne

$\mathrm {N} _{n}={\frac {\mathrm {Q} }{(8p-1)^{n-2}}}.$

Cette valeur de $\mathrm {N} _{n}$ ne commence à avoir lieu que lorsque $n=2\,;$ donc

$\mathrm {Q=N} _{2},\qquad$et$\qquad \mathrm {N} _{n}={\frac {\mathrm {N} _{2}}{(8p-1)^{n-2}}}\,;$

pareillement

$\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {N} }={\frac {\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {N} }}{(8\sideset {^{1}}{}p-1)^{n-2}}}.$

on déterminera $\mathrm {N} _{2}$ et $\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {N} }$ par ces équations

${\begin{aligned}1=&{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2^{2}}}+p^{2}.\mathrm {N} _{2}+\sideset {^{1}}{^{2}}p.\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {N} },\\{\frac {1}{2}}=&{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2^{4}}}+p^{4}.\mathrm {N} _{2}+\sideset {^{1}}{^{4}}p.\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {N} }.\end{aligned}}$

On déterminera de la même manière les autres coefficients $\mathrm {M} _{n},\mathrm {L} _{n},\mathrm {K} _{n},\ldots .$

XXXIII.

Problème XVII. – Deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ jouent à cette condition, qu’à chaque coup, celui qui perdra donnera un écu à l’autre ; Je suppose que l’adresse de $\mathrm {A}$ soit à celle de $\mathrm {B} ,$ comme $p$ est à $q,$ et que l’un et l’autre ait un nombre $m$ d’écus ; on demande quelle est la probabilité que le jeu finira avant, ou au nombre $x$ de coups.