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D’où, en considérant que

$1={\frac {1}{4p}}+{\frac {1}{4pp}},$

on formera les équations suivantes ;

${\begin{aligned}0=&{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{n}+{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n-2},\\2\mathrm {N} _{n}=&{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n-1}}{p}},\\2\mathrm {M} _{n}+\mathrm {N} _{n}=&{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {M} _{n}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {M} _{n-1}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n-2}}{p^{2}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n-1}}{p}},\\2\mathrm {L} _{n}+\mathrm {M} _{n}=&{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {L} _{n}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {L} _{n-1}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {M} _{n-2}}{p^{2}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {M} _{n-1}}{p}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On aura des équations semblables pour $\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {N} },\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {M} },\ldots .$ On déterminera les quantités $\mathrm {C} _{n}$ et $\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} },$ en considérant que, lorsque $n=x,\ \sideset {_{n}}{_{x}}y=1,$ et que, lorsque $x=2n,\ \sideset {_{n}}{_{x}}y={\frac {1}{2}}\,;$ d’où l’on tire les équations

${\begin{aligned}1={\frac {\mathrm {A} _{n}}{2^{n}}}&+p^{n}\left[\ \mathrm {C} _{n}+n\ \mathrm {D} _{n}+\ldots +{\frac {n(n-1)\ldots 3}{1.2.3\ldots (n-2)}}\mathrm {N} _{n}\right]\\&+\sideset {^{1}}{^{n}}p\left[\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+n\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {D} }+\ldots \right]\\\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}={\frac {\mathrm {A} _{n}}{2^{2n}}}&+p^{2n}\left[\ \mathrm {C} _{n}+2n\ \mathrm {D} _{n}+\ldots +\ \mathrm {N} _{n}{\frac {2n\ldots (n+3)}{1.2\ldots (n-2)}}\right]\\&+\sideset {^{1}}{^{2n}}p\left[\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+2n\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {D} }+\ldots +\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {N} }{\frac {2n\ldots (n+3)}{1.2\ldots (n-2)}}\right].\end{aligned}}$

Il faut présentement intégrer les équations précédentes. Or, si l’on fait $-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}=\cos q$ et ${\frac {\sqrt {7}}{2{\sqrt {2}}}}=\sin q,$ ce qui donne à peu près $q=110^{\circ }42',$ on trouvera (article IX)

$\mathrm {A} _{n}=2^{\frac {n}{2}}(\alpha \cos nq+{\text{ϐ}}\sin nq),$

$\alpha$ et ϐ étant deux constantes arbitraires. Or, si l’on fait $n=0,$ on a

$\mathrm {A} _{0}=0=\alpha \,;$