choisissant les numéros 
et 
et 
les deux autres, si l’on tire chaque fois un seul de ces numéros au hasard, celui des deux joueurs gagnera, qui le premier aura atteint le nombre 
les numéros et 
comptant pour 
et les numéros 
et 
comptant pour 
Cela posé, s’il manque 
unités au joueur 
et 
unités au joueur 
on demande les probabilités respectives des deux joueurs 
et pour gagner.
Soit 
la probabilité de pour gagner ; si l’on tire de l’urne le numéro 
elle deviendra 
si l’on tire le numéro elle deviendra 
si le numéro sort, elle sera 
si c’est le numéro 
elle sera 
on aura donc
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Cette équation s’intègre comme dans le Problème VII ; mais, pour cela, il faut avoir deux équations particulières dans deux suppositions particulières pour 
Or, si l’on suppose 
on a 
et si l’on suppose 
parce que je suppose qu’alors les deux joueurs excluent les numéros et 
On a donc, par le Problème VII,
et l’équation
est la même que celle-ci
on aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}+\ p^{x}&\left[\ \ \mathrm {N} _{n}{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+3)}{1.2.3\ldots (n-2)}}+\mathrm {M} _{n}{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+4)}{1.2.3\ldots (n-3)}}\right.\\&+\mathrm {L} _{n}{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+5)}{1.2.3\ldots (n-4)}}+\mathrm {K} _{n}{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+6)}{1.2.3\ldots (n-5)}}\\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\mathrm {C} _{n}{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right]\\+\sideset {^{1}}{^{x}}p&\left[\ \ \sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {N} }_{n}{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+3)}{1.2.3\ldots (n-2)}}+\ldots \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035bd39e697d50761dabf84e5e85fdf99433abb7)
