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$p$ n’arrive point du tout ; présentement, le nombre des cas dans lesquels, sur $m+n-1$ coups, $p$ arrivera $m-1,$ et $q,\ n$ fois, est, comme l’on sait,

${\frac {\Delta (m+n-1)}{\Delta (n)\Delta (m-1)}}\,;$

mais, comme dans le terme $\mathrm {H} p^{m+\mu }q^{n+\lambda }r^{i-2-\mu -\lambda },\ p$ arrive $m+\mu$ fois, et $q,\ n+\lambda$ fois, il faut multiplier ${\frac {\Delta (m+n-1)}{\Delta (n)\Delta (m-1)}}$ par le nombre des combinaisons dans lesquelles, $p$ arrivant $\mu +1$ fois, $q$ arrive $\lambda$ fois ; or le nombre de ces combinaisons est

${\frac {\Delta (\mu +\lambda +1)}{\Delta (\mu +1)\Delta (\lambda )}}\,;$

donc on aura

${\frac {\Delta (m+n-1)\Delta (\mu +\lambda +1)}{\Delta (n)\Delta (\lambda )\Delta (m-1)\Delta (\mu +1)}}$

pour le nombre des combinaisons dans lesquelles $q$ est arrivé $n$ fois, lorsque $p$ n’est encore arrivé que $m-1$ fois ; on trouvera pareillement

${\frac {\Delta (m+n-1)\Delta (\mu +\lambda +1)}{\Delta (n+1)\Delta (\lambda -1)\Delta (m-2)\Delta (\mu +2)}}$

pour le nombre des cas dans lesquels $q$ est arrivé $n+1$ fois, lorsque $p$ n’est encore arrivé que $m-2$ fois, et ainsi de suite. Soit donc

$\mathrm {Q} _{\mu +\lambda }=\left[1+{\frac {\lambda (m-1)}{(n+1)(\mu +2)}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)(m-1)(m-2)}{(n+1)(n+2)(\mu +2)(\mu +3)}}+\ldots \right]$

$\times {\frac {\Delta (m+n-1)\Delta (\mu +\lambda +1)}{\Delta (n)\Delta (m-1)\Delta (\mu +1)\Delta (\lambda )}}p^{m+\mu }q^{n+\lambda }r^{i-2-\mu -\lambda }\,;$

que l’on désigne par $\left(\mathrm {Q} _{\mu +\lambda }\right)$ la somme de tous les termes que l’on peut former, en donnant à $\mu$ et à $\lambda ,$ dans $\mathrm {Q} _{\mu +\lambda },$ toutes les valeurs possibles en nombres entiers et positifs depuis zéro, de manière cependant que $\mu +\lambda$ n’excède jamais $i-2\,;$ que l’on exprime ensuite par $\left(\mathrm {R} _{\mu +\lambda }\right)$ ce que devient $\left(\mathrm {Q} _{\mu +\lambda }\right),$ lorsqu’on y change $q$ en $r,\ n$ en $i,$ et réciproquement ; cela posé, la probabilité de $\mathrm {A} ,$ pour gagner, sera

${\frac {1}{(p+q+r)^{m+n+i-2}}}\left[p^{m+n+i-2}+{\frac {m+n+i-2}{1}}p^{m+n+i-3}(q+r)+\ldots \right.$

$\left.+{\frac {(m+n+i-2)\ldots (m+i-1)}{1.2.3\ldots (n-2)}}p^{m}(q+r)^{n+i-2}-\left(\mathrm {Q} _{\mu +\lambda }\right)-\left(\mathrm {R} _{\mu +\lambda }\right)\right].$

La même méthode a également lieu, quel que soit le nombre des joueurs.

XXXII.

Problème XVI. – Je suppose les numéros $A_{1},A_{2},B_{1}$ et $B_{2},$ renfermés dans une urne, et que deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ jouent à cette condition que $\mathrm {A}$