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or, posant $n=3,$ on a

$\mathrm {C} =\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {K} }.$

De même,

$\sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {K} }={\frac {q^{n-4}}{r^{n-4}}}{\frac {p^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{3}{\frac {(n-3)(n-2)}{1.2}}+{\frac {q^{n-3}}{r^{n-3}}}{\frac {p}{r}}\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {K} }(n-2)+{\frac {q^{n-2}}{r^{n-2}}}\sideset {_{3}}{_{2}}{\mathrm {K} },$

et généralement on aura

${\begin{aligned}\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {K} }&={\frac {q^{n-4}p^{m-1}}{r^{m+n-5}}}\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{3}{\frac {(n-3)\ldots (n+m-5)}{1.2.3\ldots (m-1)}}\\&+{\frac {q^{n-3}p^{m-2}}{r^{m+n-5}}}\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {K} }{\frac {(n-2)\ldots (n+m-5)}{1.2.3\ldots (m-2)}}\\&+{\frac {q^{n-2}p^{m-3}}{r^{m+n-5}}}\sideset {_{3}}{_{2}}{\mathrm {K} }{\frac {(n-1)\ldots (n+m-5)}{1.2.3\ldots (m-3)}}\\&+{\frac {q^{n-1}p^{m-4}}{r^{m+n-5}}}\left({\frac {1-p}{r}}\right)^{3}{\frac {n\ldots (n+m-5)}{1.2.3\ldots (m-4)}}.\end{aligned}}$

On déterminera $\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {K} }$ et $\sideset {_{3}}{_{2}}{\mathrm {K} }$ au moyen des équations suivantes :

${\begin{aligned}r^{3}\left(\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {K} }+3\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {L} }+3\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {M} }+\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {N} }\right)=1,\\r^{3}\left(\sideset {_{3}}{_{2}}{\mathrm {K} }+3\sideset {_{3}}{_{2}}{\mathrm {L} }+3\sideset {_{3}}{_{2}}{\mathrm {M} }+\sideset {_{3}}{_{2}}{\mathrm {N} }\right)=1.\end{aligned}}$

La loi des autres coefficients $\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {I} },\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {H} },\ldots$ est visible, et il est aisé, par conséquent, de les déterminer. Quant au coefficient $\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} },$ on le déterminera par cette équation

$1=r^{m+n-2}\left[\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }+(m+n-2)\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {D} }+{\frac {(m+n-2)(m+n-3)}{1.2}}\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {E} }+\ldots \right].$

On a donc ainsi une expression générale de $\sideset {_{m,n}}{_{x}}y$ et, conséquemment, la probabilité du joueur $\mathrm {C}$ pour gagner ; par la même méthode, et au moyen de formules analogues, on aurait celle des deux autres joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} \,;$ en sorte que l’on a une solution du Problème des partis dans le cas de trois joueurs ; Problème qui n’avait point encore été résolu, que je sache, bien que les géomètres qui se sont occupés de l’analyse des hasards parussent en désirer la solution. (Voir M. Montmort, dans son Ouvrage Sur l’analyse des jeux de hasard, seconde édition, page 247.)

Je suppose dans l’expression $\sideset {_{m,n}}{_{x}}y,\ m=2,\ n=3$ et $x=9,$ c’est à-dire que le nombre des coups qui manquent au joueur $\mathrm {C}$ soit $4\,;$ je