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La difficulté consiste présentement à déterminer les constantes arbitraires ; $\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {N} },\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {M} },\ldots ,$ lesquelles peuvent être des fonctions de $m$ et de $n.$

Pour cela, je suppose d’abord $m=1,$ et l’on aura

$(\sigma )\quad \sideset {_{1,n}}{_{x}}y=r^{x-2}\times$

$\left[\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {D} }(x-2)+\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {E} }{\frac {(x-2)(x-3))}{1.2}}+\ldots +\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {E} }{\frac {(x-2)\ldots (x-n))}{1.2.3\ldots (n-1)}}\right].$

Or on a $\sideset {_{1,n}}{_{n+1}}y=1,$ comme il est visible, puisqu’il ne manque alors aucun coup au joueur $\mathrm {C} \,;$ je reprends ensuite l’équation

$\sideset {_{1,n}}{_{x}}y=r.\sideset {_{1,n}}{_{x-1}}y+q.\sideset {_{1,{n-1}}}{_{x-1}}y.$

Si l’on fait $x=n+1,$ on a

$\sideset {_{1,n}}{_{n+1}}y=1=r.\sideset {_{1,n}}{_{n}}y+q,$

donc

$\sideset {_{1,n}}{_{n}}y={\frac {1-q}{r}}\,;$

ensuite

$\sideset {_{1,n}}{_{n}}y={\frac {1-q}{r}}=r.\sideset {_{1,n}}{_{n-1}}y+q{\frac {1-q}{r}},$

donc

$\sideset {_{1,n}}{_{n-1}}y=\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{2}.$

On trouvera pareillement

$\sideset {_{1,n}}{_{n-2}}y=\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{3},$

et ainsi de suite. Cela posé, si l’on fait $x=2,$ l’équation $(\sigma )$ donnera $\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{n-1}=\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }\,;$ si l’on fait $x=3,$ on aura

$\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{n-2}=r\left[\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{n-1}+\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {D} }\right],$

donc

$\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {D} }=\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{n-2}{\frac {q}{r}}.$

En faisant $x=4,$ on aura

$\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {E} }=\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{n-3}{\frac {q^{2}}{r^{2}}},$