partant, 
Si l’on fait 
on aura
donc 
et ainsi de suite ; d’où il est facile de conclure
![{\displaystyle \left.+{\frac {p^{3}}{q^{3}}}{\frac {(x-1)(x-2)(x-3)}{1.2.3}}+\ldots +{\frac {p^{n-1}}{q^{n-1}}}{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-1)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7ad586daf661d5617f87a8442c67edf7a2c1b0)
XXXI.
Problème XV. – Trois joueurs 
dont les adresses respectives sont représentées par les lettres 
jouent ensemble de manière que, sur un nombre 
de coups, il en manque 
à 
à 
et 
à 
on propose de déterminer la probabilité respective de ces trois joueurs pour gagner.
Soit, 
la probabilité de 
pour gagner ; il est clair qu’après un nouveau coup elle sera, ou 
ou 
ou 
or
la probabilité qu’elle sera est 
la probabilité qu’elle sera 
est 
et la probabilité qu’elle sera 
est 
On aura donc
Cette équation est aux différences partielles à quatre variables, et s’intègre par le Problème IX ; mais, pour cela, il faut que l’on ait deux équations particulières pour les cas de 
et de 
pour les trouver, j’observe que, si l’on fait 
on aura
parce que, lorsque on a 
