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mais, en faisant $x=h+1,$ on a

$y_{x}=0,$

par la supposition ; donc

$p={\frac {a\left(1+{\cfrac {1}{m}}\right)^{h}}{m\left[\left(1+{\cfrac {1}{m}}\right)^{h}-1\right]}}.$

XXVIII.

Problème XII. – J’imagine un solide composé d’un nombre $n$ de faces parfaitement égales, et que je désigne par les nombres $1,2,3,\ldots ,n\,;$ je veux avoir la probabilité que, en un nombre $x$ de coups, j’amènerai ces $n$ faces de suite dans l’ordre $1,2,3,4,\ldots ,n.$

Je nomme $y_{x}$ cette probabilité, et $u_{x}$ le nombre des cas favorables ; le nombre de tous les cas possibles est $n^{x}\,;$ car, si l’on nomme $t_{x}$ ce nombre au coup $x,$ il sera $t_{x-1}$ au coup $x-1.$ Or, le nombre des cas au coup $x-1$ doit se combiner avec toutes les faces du solide, pour former tous les cas possibles au coup $x$ on a donc

$t_{x}=nt_{x-1},$

ce qui donne

$t_{x}=\mathrm {A} n^{x}.$

Or, posant $x=1,\ t_{x}=n\,;$ donc

$\mathrm {A} =1\qquad$et$\qquad t_{x}=n^{x}.$

On aura donc

${\frac {u_{x}}{n^{x}}}=y_{x}.$

Or $u_{x}$ est évidemment égal au nombre des cas favorables au coup $x-1$ multiplié par le nombre des faces du solide, plus au nombre des cas dans lesquels la combinaison $1,2,3,\ldots ,sn$ peut arriver précisément au coup $x\,;$ de plus, tous les cas dans lesquels cette combinaison n’est point arrivée au coup $x-n$ donnent chacun un cas dans lequel elle arrivera précisément au coup $x.$ Le nombre de ces cas est $n^{x-n}-u_{x-n}\,;$