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or, posant $x=1,\ y_{x}=a\,;$ donc,

$\mathrm {A} =-{\frac {a}{n-1}}\,;$

partant,

$y_{x}={\frac {a}{n-1}}\left[n-\left(1+{\frac {n-1}{mn}}\right)^{x-1}\right].$

Si l’on demande l’année $x$ à laquelle ce capital sera zéro, on aura

$\left(1+{\frac {n-1}{mn}}\right)^{x-1}=n\,;$

donc

$x=1+{\frac {\operatorname {l} n}{\operatorname {l} \left(1+{\frac {n-1}{mn}}\right)}}.$

Je suppose que l’intérêt soit de $5$ pour $100,$ et que l’on retienne ${\frac {1}{10}}$ sur cet intérêt, on aura

$m=20\qquad$et$\qquad n=10\,;$

partant,

$x=53{,}3.$

On peut résoudre de la même manière le problème suivant :

Une personne doit la somme $a,$ et veut s’acquitter au bout de $h$ années, en sorte quelle ne doive rien à l’année $h+1,$ l’intérêt étant toujours ${\frac {1}{m}}$ de la quantité due ; il s’agit de trouver ce qu’elle doit donner pour cela chaque année.

Soient $p$ cette quantité, et $y_{x}$ ce qu’elle doit à la $x$^ième année, on aura, par la méthode précédente,

$y_{x+1}=y_{x}\left(1+{\frac {1}{m}}\right)-p,$

d’où je conclus en intégrant $y_{x}=mp+\mathrm {A} \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{x-1}.$ Or, posant $x=1,\ y_{x}=a\,;$ donc

$a=mp+\mathrm {A} \,;$

partant.

$y_{x}=mp+(a-mp)\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{x-1}\,;$