Je suppose que, dans le cas de
on ait, ou l’on puisse avoir l’équation suivante
![{\displaystyle \sideset {_{m,1}}{_{x}}y+\mathrm {D} _{m}.\sideset {_{m,1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{m}}{\mathrm {D} }\sideset {_{m,1}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {L} _{m}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2e15d34c2d282c17092afef723d57121a31ae1)
et que, dans le cas de
on ait, ou l’on puisse avoir celle-ci
![{\displaystyle \sideset {_{1,n}}{_{x}}y+\mathrm {E} _{n}.\sideset {_{1,n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {E} }.\sideset {_{1,n}}{_{x-2}}y+\ldots +\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {H} }=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a038beae6f1b398ebcf340cb8f43edff89346f)
on pourra, dans ce cas, transformer l’équation
dans la suivante
![{\displaystyle (\varpi )\quad \sideset {_{m,n}}{_{x}}y=\sideset {_{m}}{_{n}}a.\sideset {_{m,n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}a\sideset {_{m,n}}{_{x-2}}y+\sideset {^{2}_{m}}{_{n}}a\sideset {_{m,n}}{_{x-3}}y+\ldots +\sideset {_{m}}{_{n}}u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f424c0f6766afd3c7eaa38e7e280a687f18d6778)
dont on déterminera les coefficients de cette manière.
Cette équation donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }.\sideset {_{m-1,n}}{_{x}}y\ \ \ =&\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }\left(\sideset {_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {_{m-1,n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {_{m-1,n}}{_{x-2}}y+\ldots +\sideset {_{m-1}}{_{n}}u\right),\\\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }.\sideset {_{m-1,n}}{_{x-1}}y=&\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }\left(\sideset {_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {_{m-1,n}}{_{x-2}}y+\sideset {^{1}_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {_{m-1,n}}{_{x-3}}y+\ldots +\sideset {_{m-1}}{_{n}}u\right),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e852bf37a6b4ca9313c7531e536870a1c86c846d)
Si l’on ajoute toutes ces équations membre à membre, et qu’on élimine les quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }.\sideset {_{m-1,n}}{_{x}}y\ \ \ &+\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }.\sideset {_{m-1,n}}{_{x-1}}y+\ldots ,\\\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }.\sideset {_{m-1,n}}{_{x-1}}y&+\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }.\sideset {_{m-1,n}}{_{x-2}}y+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd22b9fe4c6563decb931ff85cfbce1a8ad25dbc)
au moyen de l’équation
on aura
![{\displaystyle (\sigma )\quad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{m,n}}{_{x}}y=&\,\quad \sideset {_{m,n}}{_{x-1}}y\left(\sideset {_{m-1}}{_{n}}a-\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} }\right)\\&+\sideset {_{m,n}}{_{x-2}}y\left(\sideset {^{1}_{m-1}}{_{n}}a+\sideset {_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} }-\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} }\right)\\&+\sideset {_{m,n}}{_{x-3}}y\left(\sideset {^{2}_{m-1}}{_{n}}a+\sideset {^{1}_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} }+\sideset {_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} }-\sideset {^{2}_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} }\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-\sideset {_{m,n-1}}{_{x}}y.\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }\\&+\sideset {_{m,n-1}}{_{x-1}}y\left(-\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }+\sideset {_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }\right)\\&+\sideset {_{m,n-1}}{_{x-2}}y\left(-\sideset {^{2}_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }+\sideset {^{1}_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }+\sideset {_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\sideset {_{m-1}}{_{n}}u\left(\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\ldots \right)\\&-\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {N} }\left(1-\sideset {_{m-1}}{_{n}}a-\sideset {^{1}_{m-1}}{_{n}}a-\ldots \right).\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028f6c3cdc36b12cb1c440c49bcacceb079e6f9c)