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leurs valeurs que fournit l’équation $(\gamma ),$ on aura, après avoir ordonné,

{\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y={\frac {1}{1-b_{n-1}\mathrm {C} _{n}}}&\left[\sideset {_{n}}{_{x-1}}y\left(a_{n-1}+\mathrm {A} _{n}+b_{n-1}.\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {^{1}}{_{n-1}}b\mathrm {C} _{n}\right)\right.\\&+\sideset {_{n}}{_{x-2}}y\left(\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-a_{n-1}\mathrm {A} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }\right.\\&\qquad \qquad \left.+b_{n-1}\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {^{1}}{_{n-1}}b\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {^{2}}{_{n-1}}b\mathrm {C} _{n}\right)\\&+\sideset {_{n}}{_{x-3}}y\left(\sideset {^{2}}{_{n-1}}a-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a\mathrm {A} _{n}-a_{n-1}\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }+\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }\right.\\&\qquad \left.+b_{n-1}\sideset {^{3}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {^{1}}{_{n-1}}b\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {^{2}}{_{n-1}}b\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {^{3}}{_{n-1}}b\mathrm {C} _{n}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\sideset {_{n+1}}{_{x}}y\mathrm {B} _{n}\\&+\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y\left(\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }-a_{n-1}\mathrm {B} _{n}\right)\\&+\sideset {_{n+1}}{_{x-2}}y\left(\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {B} }-a_{n-1}\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a\mathrm {B} _{n}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+u_{n-1}\left(\mathrm {C} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\ldots \right)\\&\qquad \qquad \left.+\mathrm {N} _{n}(1-a_{n-1}-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-\sideset {^{2}}{_{n-1}}a-\ldots )\right].\end{aligned}}

En comparant cette équation avec l’équation $(\theta ),$ on aura :

1^o $\qquad \qquad \qquad \qquad b_{n}={\frac {\mathrm {B} _{n}}{1-\mathrm {C} _{n}b_{n-1}}}.$

Pour intégrer cette équation, je fais $b_{n}=-{\frac {z_{n-1}}{z_{n}}}\,;$ ce qui donne

équation linéaire aux différences ordinaires.

2^o $\qquad \qquad \qquad \sideset {^{1}}{_{n}}b={\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }-a_{n-1}\mathrm {B} _{n}}{1-\mathrm {C} _{n}b_{n-1}}},$

3^o $\qquad \qquad \qquad a_{n}={\frac {\mathrm {A} _{n}+a_{n-1}+\sideset {^{1}}{_{n-1}}b\mathrm {C} _{n}+b_{n-1}\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }}{1-\mathrm {C} _{n}b_{n-1}}}.$

De la première de ces équations, on aura

\sideset {^{1}}{_{n-1}}b={\frac {\sideset {^{1}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }-a_{n-2}\mathrm {B} _{n-1}}{1-\mathrm {C} _{n-1}b_{n-2}}}\,;