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racines de l’équation

$1={\frac {a_{n}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}a}{f^{2}}}+{\frac {\sideset {^{2}}{_{n}}a}{f^{3}}}+\ldots .$

Or on trouvera facilement que cette équation est la même que celle-ci

$0=\left(1+{\frac {\mathrm {A} _{3}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}+\ldots \right)\left(1+{\frac {\mathrm {A} _{4}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{4}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}+\ldots \right)$

$\ldots \times \left(1+{\frac {\mathrm {A} _{n}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}+\ldots \right),$

d’où il est facile de conclure $a_{n},\sideset {^{1}}{_{n}}a,\ldots .$

Pour déterminer présentement $\sideset {_{n}}{_{x}}u,$ j’observe que l’équation du Problème donne la suivante :

${\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y&-a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y-\ldots +\mathrm {N} _{n}(1-a_{n}-\sideset {^{1}}{_{n}}a-\ldots )\\&+\mathrm {A} _{n}\left(\sideset {_{n}}{_{x-1}}y-\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\=&\ \quad \mathrm {B} _{n}\left(\sideset {_{n-1}}{_{x}}y-a_{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y-\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {C} _{n}\left(\sideset {_{n-2}}{_{x}}y-a_{n}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

Or on a, par l’équation $(\Lambda ),$

${\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y\quad &-a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y-\ldots =\sideset {_{n}}{_{x}}u,\\\sideset {_{n}}{_{x-1}}y&-a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y-\ldots =\sideset {_{n}}{_{x-1}}u,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

de plus,

${\begin{aligned}&\sideset {_{n-1}}{_{x}}y-a_{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y-\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y-\ldots \\&=\sideset {_{n-1}}{_{x}}y-a_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y-\ldots +\mathrm {A} _{n}\left(\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y-a_{n-1}\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}.y-\ldots \right)+\ldots \\&=\sideset {_{n-1}}{_{x}}u+\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u+\ldots \,;\end{aligned}}$

pareillement,

${\begin{aligned}\sideset {_{n-2}}{_{x}}y&-a_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots \\&=\sideset {_{n-2}}{_{x}}y-a_{n-2}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots +\mathrm {A} _{n-1}\left(\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots \right)+\ldots \\&=\sideset {_{n-2}}{_{x}}u+\mathrm {A} _{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}u+\ldots \end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}&\sideset {_{n-2}}{_{x}}y-a_{n}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots \\&=\sideset {_{n-2}}{_{x}}y-a_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots +\mathrm {A} _{n}\left(\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots \right)+\ldots \\&=\sideset {_{n-2}}{_{x}}u+\mathrm {A} _{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}u+\ldots +\mathrm {A} _{n}\left(\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}u+A_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}u+\ldots \right)+\ldots \,;\end{aligned}}$