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Or, posant $n=1,$ on a $u_{n}=0\,;$ donc

$\mathrm {H} =0\qquad$et$\qquad u_{n}=0.$

En intégrant, on aura donc

$\sideset {_{n}}{_{x}}y=\mathrm {C} _{n}2^{x-1}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }3^{x-1}+\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {C} }4^{x-1}+\ldots +\sideset {^{n-1}}{_{n}}{\mathrm {C} }(n+1)^{x-1},$

équation dans laquelle il faut présentement déterminer les constantes arbitraires $\mathrm {C} _{n},\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} },\ldots .$ Pour cela, je substitue cette valeur de $\sideset {_{n}}{_{x}}y$ dans l’équation

$\sideset {_{n}}{_{x}}y=(n+1).\sideset {_{n}}{_{x-1}}y\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y,$

ce qui donne

$\mathrm {C} _{n}2^{x-1}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }3^{x-1}+\ldots$

$=(n+1)\mathrm {C} _{n}2^{x-2}+(n+1).\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }3^{x-2}+\ldots +\mathrm {C} _{n-1}2^{x-2}+\sideset {^{1}}{_{n-1}}{\mathrm {C} }3^{x-2}\,;$

d’où, en comparant terme à terme, j’aurai

${\begin{aligned}2.\ \ \mathrm {C} _{n}=&(n+1).\ \mathrm {C} _{n}+\ \mathrm {C} _{n-1},\\3.\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }=&(n+1).\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {^{1}}{_{n-1}}{\mathrm {C} },\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Il est visible que la première équation ne commence à avoir lieu que lorsque $n=2\,;$ la seconde, lorsque $n=3\,;$ la troisième, lorsque $n=4,\ldots .$ En intégrant la première, on aura

$\mathrm {C} _{n}={\frac {\mathrm {C} _{1}}{(1-2)(1-3)(1-4)\ldots (1-n)}}.$

Or, puisque l’on a $\sideset {_{1}}{_{x}}y=2^{x-1},$ on aura $\mathrm {C} _{1}=1\,;$ donc

$\mathrm {C} _{n}=\pm {\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}},$

le signe $+$ ayant lieu si $n$ est impair, et le signe $-$ s’il est pair.

On aura pareillement

$\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }={\frac {\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {C} }}{(2-3)(2-4)\ldots (2-n)}}.$

Or, posant $n=2,$ on a

$\sideset {_{2}}{_{x}}y=C_{2}2^{x-1}+\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {C} }3^{x-1}=\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {C} }3^{x-1}-2^{x-1}.$