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Soient, par exemple, $x=8$ et $n=5\,;$ on aura

$\sideset {_{5}}{_{8}}y=2^{7}{\frac {7.6.5.4}{1.2.3.4}}=4480.$

Je prends encore pour exemple les deux équations

${\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{x}}=&2.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y\\\sideset {_{n}}{_{x}}=&(n+1).\sideset {_{n}}{_{x-1}}y\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y.\end{aligned}}$

Si l’on suppose

$\sideset {_{1}}{_{1}}y=1,\quad \sideset {_{2}}{_{1}}y=0,\quad \sideset {_{3}}{_{1}}y=0,\quad \sideset {_{4}}{_{1}}y=0,\quad \ldots ,$

on formera les séries suivantes :

${\begin{array}{rrrrrrrrrcc}&1&2&3&4&5&6&7&8&\ldots &x\\1&1&2&4&8&16&32&64&.&\ldots &.\\2&0&1&5&19&65&211&665&.&\ldots &.\\3&0&0&1&9&55&285&1351&.&\ldots &.\\4&0&0&0&1&14&125&910&.&\ldots &.\\5&0&0&0&0&1&20&245&.&\ldots &.\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\n&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\end{array}}$

Pour trouver maintenant le terme général de ces suites, ou l’expression de $\sideset {_{n}}{_{x}}y,$ j’observe que l’on a, par l’Article précédent,

$\sideset {_{n}}{_{x}}y=a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\sideset {^{2}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-3}}y+\ldots +u_{n},$

et que l’équation

$1={\frac {a_{n}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}a}{f^{2}}}+{\frac {\sideset {^{2}}{_{n}}a}{f^{3}}}+\ldots$

est la même que celle-ci

$0=\left(1-{\frac {2}{f}}\right)\left(1-{\frac {3}{f}}\right)\left(1-{\frac {4}{f}}\right)\ldots \left(1-{\frac {n+1}{f}}\right)\,;$

enfin, que l’on a

$u_{n}=2u_{n-1}\,;$

d’où, en intégrant.

$u_{n}=\mathrm {H} 2^{n}.$