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Si l’on ajoute toutes ces équations membre à membre, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}y+&\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\ldots \\=&a_{n-1}\left(\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\ldots \right)\\&+\sideset {^{1}}{_{n-1}}a\left(\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}u+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u+\ldots .\end{aligned}}$

Or, si l’on substitue, au lieu de

${\begin{aligned}&\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}y\quad +\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\ldots ,\\&\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\ldots ,\end{aligned}}$

leurs valeurs données par l’équation du problème, on aura

${\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y-\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y-\ldots -\mathrm {N} _{n}=&a_{n-1}\left(\sideset {_{n}}{_{x-1}}y-\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y-\ldots -\mathrm {N} _{n}\right)\\&+\sideset {^{1}}{_{n-1}}a\left(\sideset {_{n}}{_{x-2}}y-\ldots -\mathrm {N} _{n}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}u+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u+\ldots .\end{aligned}}$

En ordonnant les différents termes de cette équation, on aura

${\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y=&\sideset {_{n}}{_{x-1}}y\left(\ a_{n-1}+\mathrm {A} _{n}\right)\\&\sideset {_{n}}{_{x-2}}y\left(\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-\ \ a_{n-1}\mathrm {A} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }\right)\\&\sideset {_{n}}{_{x-3}}y\left(\sideset {^{2}}{_{n-1}}a-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a\mathrm {A} _{n}-a_{n-1}.\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }+\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}u+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u+\ldots \\&+\mathrm {N} _{n}\left(1-a_{n-1}-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-\ldots \right).\\\end{aligned}}$

Si l’on compare maintenant terme à terme cette dernière équation avec l’équation (2), on aura les suivantes :

${\begin{aligned}a_{n}=&\ a_{n-1}+\mathrm {A} _{n},\\\sideset {^{1}}{_{n}}a=&\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-\ \ a_{n-1}\mathrm {A} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} },\\\sideset {^{2}}{_{n}}a=&\sideset {^{2}}{_{n-1}}a-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a\mathrm {A} _{n}-a_{n-1}.\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }+\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {A} },\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$