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en supposant, $\sideset {_{1}}{_{x}}y=\varphi (x),$ on aura

$\sideset {_{2}}{_{x}}y-\sideset {_{2}}{_{x-1}}y=\varphi (x-1),\qquad$ou$\qquad \Delta .\sideset {_{2}}{_{x}}y=\varphi (x),$

partant $\sideset {_{2}}{_{x}}y=\Sigma \varphi (x)\,;$ on trouvera pareillement

$\sideset {_{3}}{_{x}}y=\Sigma ^{2}\varphi (x),\qquad \sideset {_{4}}{_{x}}y=\Sigma ^{3}\varphi (x),$

et généralement

$\sideset {_{n}}{_{x}}y=\Sigma ^{n-1}\varphi (x)\,;$

telle est donc la valeur complète de $\sideset {_{n}}{_{x}}y,$ en ayant soin d’ajouter à chaque intégration une constante arbitraire.

On peut simplifier cette valeur et la réduire à des quantités affectées du simple signe d’intégration, de la manière suivante.

Il faut réduire la double intégrale $\Sigma ^{2}\varphi (x)$ à de simples intégrales ; je fais pour cela

$\Sigma ^{2}\varphi (x)=z_{x}\Sigma \varphi (x)-\Sigma t_{x}\varphi (x)\,;$

en différenciant, il vient

$\Sigma \varphi (x)=\left(z_{x}+\Delta z_{x}\right)\left[\varphi (x)+\Sigma \varphi (x)\right]-z_{x}\Sigma \varphi (x)-t_{x}\varphi (x)$

ou

$\Sigma \varphi (x)=\left(z_{x}+\Delta z_{x}-t_{z}\right)\varphi (x)+\Delta z_{x}\Sigma \varphi (x).$

Donc $\Delta z_{x}=1$ et $t_{x}=z_{x}+\Delta z_{x}\,;$ je puis donc supposer $z_{x}=x$ et $t_{x}=x+1,$ ce qui donne

$\Sigma ^{2}\varphi (x)=x\Sigma \varphi (x)-\Sigma (x+1)\varphi (x)\,;$

on réduira, par un procédé semblable, $\Sigma ^{3}\varphi (x)$ à des quantités affectées d’un seul signe d’intégration ; mais il sera impossible de l’en débarrasser entièrement.

Voici maintenant une méthode d’intégrer les équations aux différences partielles, dans laquelle l’inconvénient des quantités affectées de plusieurs signes d’intégration n’est point à craindre.