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$_{n}y_{x-1},\ _{n}y_{x-2},\ldots$ signifient que $x$ a diminué de une, de deux, … unités dans cette fonction ;

$_{n-1}y_{x-2},\ldots$ signifie que $n$ a diminué d’une unité, et $x$ de deux unités, et ainsi de suite.

Une équation aux différences partielles est donc une équation entre ces différentes quantités ; telle est celle-ci :

$_{n}y_{x}=a._{n}y_{x-1}+b._{n-1}y_{x-1}.$

Les équations aux différences finies ont été trouvées par la considération des suites (Art. II). C’est pareillement la considération de certaines suites que j’ai nommées récurro-récurrentes (voir le tome VI des Savants étrangers)^[1], qui m’a conduit aux différences finies et partielles ; voici comment : je suppose que l’on ait les suites

$(i)\qquad \qquad \left\{{\begin{array}{rrrrrrrr}_{1}y_{1},&_{1}y_{2},&_{1}y_{3},&_{1}y_{4},&_{1}y_{5},&\ldots ,&_{1}y_{x},&\ldots ,\\_{2}y_{1},&_{2}y_{2},&_{2}y_{3},&_{2}y_{4},&_{2}y_{5},&\ldots ,&_{2}y_{x},&\ldots ,\\_{3}y_{1},&_{3}y_{2},&_{3}y_{3},&_{3}y_{4},&_{3}y_{5},&\ldots ,&_{3}y_{x},&\ldots ,\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,\\_{n}y_{1},&_{n}y_{2},&_{n}y_{3},&_{n}y_{4},&_{n}y_{5},&\ldots ,&_{n}y_{x},&\ldots .\end{array}}\right.$

Si un terme quelconque $_{n}y_{x}$ de ces suites est constamment égal à un nombre quelconque de termes précédents pris dans plusieurs de ces suites, et multipliés chacun par une fonction de $x$ et de $n,$ ces suites sont celles que j’ai nommées récurro-récurrentes, et l’équation qui exprime la loi d’après laquelle elles sont formées est une équation aux différences finies et partielles.

J’observerai ici que les suites $(i)$ peuvent être considérées non seulement dans le sens horizontal, mais encore dans le sens vertical, et, au lieu que dans le premier sens $x$ est leur indice, $n$ le sera dans le second.

Je supposerai dans la suite, comme je l’ai fait ci-dessus dans les équations aux différences ordinaires, que les différences de $x$ et de $n$

1. Page 5 de ce Volume.