Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/129

d’où l’on aura $a_{q}$ et $c_{q}.$ De plus, on aura

${\begin{aligned}^{1}\!a_{q+1}=&^{1}\!a_{q}\mathrm {B} +a_{q}\,^{1}\!\mathrm {B} +^{1}\!c_{q}+\mathrm {A} c_{q},\\^{1}\!c_{q+1}=&^{1}\!a_{q}\mathrm {C} +a_{q}\,^{1}\!\mathrm {C} .\end{aligned}}$

Donc

$^{1}\!a_{q+1}=^{1}\!a_{q}\mathrm {B} +a_{q}\,^{1}\!\mathrm {B} +^{1}\!a_{q-1}\mathrm {C} +a_{q-1}^{1}\!\mathrm {C} +\mathrm {A} c_{q}\,;$

d’où l’on aura $^{1}\!a_{q}$ et $^{1}\!c_{q},$ et ainsi du reste ; enfin on déterminera ${\overset {q}{u}}_{x},$ comme dans le problème précédent.

Si l’on suppose présentement $q=n,$ on aura

${\begin{aligned}{\overset {1}{y}}_{x}\left(1-c_{n}\right)+{\overset {1}{y}}_{x-1}\left(1-\mathrm {A} c_{n}-^{1}\!c_{n}\right)+\ldots &=a_{n}\left({\overset {n}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {n}{y}}_{x-1}+\ldots \right)\\&+^{1}\!a_{n}\left({\overset {n}{y}}_{x-1}+\mathrm {A} {\overset {n}{y}}_{x-2}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\overset {n}{u}}_{x}.\end{aligned}}$

On formera des équations entièrement semblables entre ${\overset {n-1}{y}}_{x}$ et ${\overset {n}{y}}_{x},\ {\overset {n-2}{y}}_{x}$ et ${\overset {n-1}{y}}_{x},\ldots ,$ et l’on aura un nombre $n$ d’équations rentrantes à deux variables, telles que je les ai considérées dans le problème précédent.

La même méthode réussirait également si les équations rentrantes renfermaient quatre ou un plus grand nombre de variables.

XVIII.

Du Calcul intégral aux différences finies et partielles.

Je suppose que $_{n}y_{x}$ représente une fonction quelconque des deux variables $x$ et $n\,;$ je puis dans cette fonction faire varier $n$ en regardant $x$ comme constant ; je puis faire varier $x$ en regardant $n$ comme constant ; enfin, je puis faire varier $n$ et $x$ à la fois, leurs variations étant dans un rapport quelconque ; or, s’il existe entre $_{n}y_{x}$ et ces différentes variations une équation quelconque, elle sera ce que je nomme équation aux différences finies et partielles.

$_{n}y_{x}$ représentant toujours une fonction de deux variables $x$ et $n:\ _{n-1}y_{x},\ _{n-2}y_{x},\ldots$ signifient que $n$ a diminué de une, de deux, … unités dans cette fonction ;