Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/126

mais on a

${\overset {n}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {n}{y}}_{x-1}+\ldots =\mathrm {B} {\overset {1}{y}}_{x}+^{1}\!\mathrm {B} {\overset {1}{y}}_{x-1}+\ldots +\mathrm {X} _{x}\,;$

donc

${\begin{array}{rll}{\overset {1}{y}}_{x}+b_{n}{\overset {1}{y}}_{x-1}+\ldots =&a_{n}\left(\mathrm {B} {\overset {1}{y}}_{x}+^{1}\!\mathrm {B} {\overset {1}{y}}_{x-1}+\ldots \right)&+a_{n}\mathrm {X} _{x}\\&+^{1}\!a_{n}\left(\mathrm {B} {\overset {1}{y}}_{x-1}+\ldots \right)&+^{1}\!a_{n}\mathrm {X} _{x-1}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots &+\ldots \ldots \ldots \\&&+{\overset {n}{u}}_{x},\end{array}}$

et, en ordonnant les différents termes de cette équation,

${\overset {1}{y}}_{x}\left(1-a_{n}\mathrm {B} \right)+{\overset {1}{y}}_{x-1}\left(b_{n}-a_{n}\,^{1}\!\mathrm {B} -^{1}\!a_{n}\mathrm {B} \right)+{\overset {1}{y}}_{x-2}\left(^{1}\!b_{n}-a_{n}\,^{2}\!\mathrm {B} -^{1}\!a_{n}\,^{1}\!\mathrm {B} -^{2}\!a_{n}\mathrm {B} \right)$

$+\ldots -{\overset {n}{u}}_{x}-a_{n}\mathrm {X} _{x}-^{1}\!a_{n}\mathrm {X} _{x-1}-\ldots =0,$

on aura une équation entièrement semblable pour ${\overset {2}{y}}_{x},{\overset {3}{y}}_{x},\ldots .$

XVII.

Problème IV. – Je suppose maintenant que les équations rentrantes renferment trois variables, et que l’on ait

${\begin{aligned}{\overset {1}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {1}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots =&\mathrm {B} {\overset {2}{y}}_{x}+^{1}\!\mathrm {B} {\overset {2}{y}}_{x-1}+^{2}\!\mathrm {B} {\overset {2}{y}}_{x-2}+\ldots \\&+\mathrm {C} {\overset {3}{y}}_{x}+^{1}\!\mathrm {C} {\overset {3}{y}}_{x-1}+^{2}\!\mathrm {C} {\overset {3}{y}}_{x-2}+\ldots \\&+\mathrm {X} _{x},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\overset {n}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {n}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {n}{y}}_{x-2}+\ldots =&\mathrm {B} {\overset {1}{y}}_{x}+^{1}\!\mathrm {B} {\overset {1}{y}}_{x-1}+^{2}\!\mathrm {B} {\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots \\&+\mathrm {C} {\overset {2}{y}}_{x}+^{1}\!\mathrm {C} {\overset {2}{y}}_{x-1}+\ldots \\&+\mathrm {X} _{x},\\\end{aligned}}$

il faut déterminer ${\overset {1}{y}}_{x},{\overset {2}{y}}_{x},\ldots .$

En suivant le procédé du problème précédent, on arrivera à une