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d’où l’on a, en comparant,

${\begin{aligned}b_{q+1}=&\ b_{q}+\mathrm {A} ,\\^{1}\!b_{q+1}=&^{1}\!b_{q}+\mathrm {A} b_{q}+^{1}\!\mathrm {A} ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;a_{q+1}=&\ a_{q}+\mathrm {B} ,\\^{1}\!a_{q+1}=&^{1}\!a_{q}\mathrm {B} +a_{q}\,^{1}\!\mathrm {B} ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

$(\Lambda )\left\{{\begin{aligned}&{\overset {q+1}{u}}_{x}={\overset {q}{u}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {q}{u}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} \,{\overset {q}{u}}_{x-2}+\ldots \\&+\mathrm {X} _{x}a_{q}+\mathrm {X} _{x-1}\left(^{1}\!a_{q}+\mathrm {A} a_{q}\right)+\mathrm {X} _{x-2}\left(^{2}\!a_{q}+\mathrm {A} \,^{1}\!a_{q}+^{1}\!\mathrm {A} a_{q}\right)+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Au moyen de ces équations, on déterminera facilement $a_{q},^{1}\!a_{q},\ldots ,$$b_{q},^{1}\!b_{q},\ldots \,;$ pour déterminer ${\overset {q}{u}}_{x},$ j’observe que l’on a

${\overset {q}{u}}_{x}=f_{q}\mathrm {X} _{x}+^{1}\!f_{q}\mathrm {X} _{x-1}+^{2}\!f_{q}\mathrm {X} _{x-2}+\ldots \,;$

je substitue cette valeur dans l’équation $(\Lambda ),$ ce qui donne

${\begin{aligned}{\overset {q+1}{u}}_{x}=&\mathrm {X} _{x}\left(f_{q}+a_{q}\right)+\mathrm {X} _{x-1}\left(^{1}\!f_{q}+^{1}\!a_{q}+\mathrm {A} a_{q}+\mathrm {A} f_{q}\right)\\&+\mathrm {X} _{x-2}\left(^{2}\!f_{q}+^{2}\!a_{q}+\mathrm {A} \,^{1}\!a_{q}+^{1}\!\mathrm {A} f_{q}+\mathrm {A} \,^{1}\!f_{q}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

mais on a

${\overset {q+1}{u}}_{x}=f_{q+1}\mathrm {X} _{x}+^{1}\!f_{q+1}\mathrm {X} _{x-1}+^{2}\!f_{q+1}\mathrm {X} _{x-2}+\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}f_{q+1}=&\ f_{q}+a_{q},\\^{1}\!f_{q+1}=&^{1}\!f_{q}+^{1}\!a_{q}+\mathrm {A} f_{q},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Au moyen de ces équations on déterminera $f_{q},^{1}\!f_{q},\ldots ,$ et partant ${\overset {q}{u}}_{x}.$ Je suppose maintenant $q=n,$ et l’on aura

${\begin{aligned}{\overset {1}{y}}_{x}+b_{n}{\overset {1}{y}}_{x-1}+\ldots =&a_{n}\left({\overset {n}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {n}{y}}_{x-1}+\ldots \right)\\&+^{1}\!a_{n}\left({\overset {n}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {n}{y}}_{x-2}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\overset {n}{u}}_{x}\,;\end{aligned}}$