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Je substitue au lieu de ${\overset {2}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {2}{y}}_{x-1}+\ldots ,\ {\overset {2}{y}}_{x-1}+\mathrm {A} {\overset {2}{y}}_{x-2}+\ldots$ leurs valeurs que donne la seconde équation, ce qui me donne une équation entre ${\overset {1}{y}}_{x},{\overset {1}{y}}_{x-1},\ldots$ et ${\overset {3}{y}}_{x},{\overset {3}{y}}_{x-1},\ldots \,;$ en opérant sur celle-ci comme sur la première, j’aurai une équation entre ${\overset {1}{y}}_{x},{\overset {1}{y}}_{x-1},\ldots$ et ${\overset {4}{y}}_{x},{\overset {4}{y}}_{x-1},\ldots$ et, en continuant d’opérer ainsi jusqu’à la variable ${\overset {q}{y}}_{x},$ je parviendrai à une équation de cette forme

${\overset {1}{y}}_{x}+b_{q}{\overset {1}{y}}_{x-1}+^{1}\!b_{q}{\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots$

$=a_{q}\left({\overset {q}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {q}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {q}{y}}_{x-2}+\ldots \right)+^{1}\!a_{q}\left({\overset {q}{y}}_{x-1}+\mathrm {A} {\overset {q}{y}}_{x-2}+\ldots \right)+\ldots +{\overset {q}{u}}_{x}.$

Il faut maintenant déterminer $b_{q},^{1}\!b_{q},\ldots ,a_{q},^{1}\!a_{q},\ldots ,{\overset {q}{u}}_{x}.$

Pour cela, je substitue dans l’équation précédente, au lieu de ${\overset {q}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {q}{y}}_{x-1}+\ldots ,\ {\overset {q}{y}}_{x-1}+\mathrm {A} {\overset {q}{y}}_{x-2}+\ldots ,$ leurs valeurs que donne la $q$^ième des équations rentrantes, ce qui donne

${\overset {1}{y}}_{x}+b_{q}{\overset {1}{y}}_{x-1}+^{1}\!b_{q}{\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots =a_{q}\left(\mathrm {B} {\overset {q+1}{y}}_{x}+^{1}\!\mathrm {B} {\overset {q+1}{y}}_{x-1}+\ldots +\mathrm {X} _{x}\right)$

$+^{1}\!a_{q}\left(\mathrm {B} {\overset {q}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {B} {\overset {q+1}{y}}_{x-2}+\ldots +\mathrm {X} _{x-1}\right)+\ldots +{\overset {q}{u}}_{x},$

d’où je conclus

${\begin{array}{r|r|rl}{\overset {1}{y}}_{x}+b_{q}&{\overset {1}{y}}_{x-1}+^{1}\!b_{q}&{\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots &=a\mathrm {B} \left({\overset {q+1}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {q+1}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {q+1}{y}}_{x-2}+\ldots \right)\\+\mathrm {A} &+\mathrm {A} b_{q}&&+\left(^{1}\!a_{q}\mathrm {B} +a_{q}\,^{1}\!\mathrm {B} \right)\left({\overset {q+1}{y}}_{x-1}+\mathrm {A} {\overset {q+1}{y}}_{x-2}+\ldots \right)\\&+^{1}\!\mathrm {A} &&+\left(^{2}\!a_{q}\mathrm {B} +^{1}\!a_{q}\,^{1}\!\mathrm {B} +a_{q}\,^{2}\!\mathrm {B} \right)\left({\overset {q+1}{y}}_{x-2}+\ldots \right)\\&&&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&&&+\mathrm {X} _{x}a_{q}\\&&&+\mathrm {X} _{x-1}\left(^{1}\!a_{q}+\mathrm {A} a_{q}\right)\\&&&+\mathrm {X} _{x-2}\left(^{2}\!a_{q}+\mathrm {A} \,^{1}\!a_{q}+^{1}\!Aa_{q}\right)\\&&&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&&&+{\overset {q}{u}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {q}{u}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {q}{u}}_{x-2}+\ldots \,;\end{array}}$

mais on a

${\begin{aligned}{\overset {1}{y}}_{x}+b_{q+1}{\overset {1}{y}}_{x-1}+^{1}\!b_{q+1}{\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots =&a_{q+1}\left({\overset {q+1}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {q+1}{y}}_{x-1}+\ldots \right)\\&+^{1}\!a_{q+1}\left({\overset {q+1}{y}}_{x-1}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\overset {q+1}{u}}_{x}\,;\end{aligned}}$