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fonction quelconque d’une de ces variables et de ses différences finies soit constamment égale à une fonction quelconque de celles qui la suivent et de leurs différences finies, l’équation qui en résulte est ce que je nomme équation rentrante en elle-même. Si, par exemple, chacune de ces variables est égale à deux fois celle qui la suit, lorsqu’on y suppose $x$ diminuer d’une unité, plus à trois fois celle qui suit cette dernière, lorsqu’on y suppose $x$ diminuer de deux unités, on aura

${\begin{aligned}{\overset {1}{y}}_{x}=&2{\overset {2}{y}}_{x-1}+3{\overset {3}{y}}_{x-2},\\{\overset {2}{y}}_{x}=&2{\overset {3}{y}}_{x-1}+3{\overset {4}{y}}_{x-2},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\overset {n}{y}}_{x}=&2{\overset {1}{y}}_{x-1}+3{\overset {2}{y}}_{x-2}.\end{aligned}}$

On voit par là que, bien que dans l’ordre des calculs la variable ${\overset {1}{y}}_{x}$ soit la première, on aurait pu cependant également commencer par une quelconque de ces variables, et les équations auraient été absolument les mêmes, ce qui est le caractère particulier de ce genre d’équations. Cela posé,

XVI.

Problème III. – Je suppose que l’on ait les équations rentrantes

${\begin{aligned}{\overset {1}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {1}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots =&\mathrm {B} {\overset {2}{y}}_{x}+^{1}\!\mathrm {B} {\overset {2}{y}}_{x-1}+^{2}\!\mathrm {B} {\overset {2}{y}}_{x-2}+\ldots +\mathrm {X} _{x},\\{\overset {2}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {2}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {2}{y}}_{x-2}+\ldots =&\mathrm {B} {\overset {3}{y}}_{x}+^{1}\!\mathrm {B} {\overset {3}{y}}_{x-1}+^{2}\!\mathrm {B} {\overset {3}{y}}_{x-2}+\ldots +\mathrm {X} _{x},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\overset {n}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {n}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {n}{y}}_{x-2}+\ldots =&\mathrm {B} {\overset {1}{y}}_{x}+^{1}\!\mathrm {B} {\overset {1}{y}}_{x-1}+^{2}\!\mathrm {B} {\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots +\mathrm {X} _{x}\,;\end{aligned}}$

il faut déterminer ${\overset {1}{y}}_{x},{\overset {2}{y}}_{x},\ldots .$

La première équation donne

${\overset {1}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {1}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots +\mathrm {A} {\overset {1}{y}}_{x-1}+\mathrm {A} ^{2}{\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots +^{1}\!\mathrm {A} {\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots$

$=\mathrm {B} \left({\overset {2}{y}}_{x}+\mathrm {A} \,{\overset {2}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} \,{\overset {2}{y}}_{x-2}+\ldots \right)+^{1}\!\mathrm {B} \left({\overset {2}{y}}_{x-1}+\mathrm {A} \,{\overset {2}{y}}_{x-2}+^{1}\!\mathrm {A} \,{\overset {2}{y}}_{x-3}+\ldots \right)$

$+\ldots +\mathrm {X} _{x}+\mathrm {A} \mathrm {X} _{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} \mathrm {X} _{x-2}+\ldots .$