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Il est aisé de voir que, s’il y avait dans chaque équation des termes tels que $\mathrm {T} _{x},\mathrm {X} _{x},\ldots ,\ \mathrm {T} _{x},\mathrm {X} _{x},$ étant des fonctions quelconques de $x,$ elles seraient intégrales dans les mêmes cas où elles le sont, ces termes n’y étant pas.

Lorsqu’on a $n-1$ équations entre $n$ variables, celles-ci pouvant avoir une infinité de rapports différents entre elles, l’intégration de ces équations présente ainsi un grand nombre de recherches curieuses ; mais il est un cas qui mérite une attention particulière, en ce qu’il se rencontre quelquefois et principalement dans l’analyse des hasards ; c’est le cas dans lequel ces équations rentrent en elles-mêmes.

XV.

Des équations différentielles rentrantes en elles-mêmes.

Si l’on a les équations suivantes, entre les $n$ variables ${\overset {1}{y}}_{x},{\overset {2}{y}}_{x},{\overset {3}{y}}_{x},\ldots ,$

${\begin{aligned}{\overset {1}{y}}_{x}=&\mathrm {A} {\overset {2}{y}}_{x-1},\\{\overset {2}{y}}_{x}=&\mathrm {A} {\overset {3}{y}}_{x-1},\\{\overset {3}{y}}_{x}=&\mathrm {A} {\overset {4}{y}}_{x-1},\\\ldots &\ldots \ldots ,\\{\overset {n}{y}}_{x}=&\mathrm {A} {\overset {1}{y}}_{x-1}.\end{aligned}}$

Ces équations sont ce que j’appelle équations rentrantes en elles-mêmes.

En général, si l’on dispose sur le périmètre de fig. $\mathrm {A}$ les $n$ va-

${\underset {{\overset {n}{y}}_{x}\ldots }{\overset {{\overset {3}{y}}_{x}}{\sideset {_{{\overset {1}{y}}_{x}}^{{\overset {2}{y}}_{x}}}{_{{\overset {5}{y}}_{x}}^{{\overset {4}{y}}_{x}}}{\begin{array}{|c|}\hline \\\quad \ \ \mathrm {A} \quad \ \ \\\\\hline \end{array}}}}}$

riables ${\overset {1}{y}}_{x},{\overset {2}{y}}_{x},{\overset {3}{y}}_{x},\ldots ,$ ainsi que la figure les représente, et qu’alors une