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l’équation $(\sigma )$ deviendra donc, en supposant $f(u_{z})=y_{z},$

$y_{z+1}=\mathrm {L} _{z}y_{z}+\mathrm {Z} _{z},$

équation intégrale par le Problème I.

On doit observer ici, conformément à une remarque due à M. Euler, que les constantes qui viennent en intégrant les équations finies différentielles dont la variable est $z,$ et dont la différence constante est l’unité, peuvent être supposées des fonctions quelconques de $\sin 2\pi z$ et de $\cos 2\pi z,\ \pi$ exprimant le rapport de la circonférence au diamètre.

Présentement, si l’on remet dans l’expression de $y_{x}$ au lieu de $z$ sa valeur en $x,$ on aura $f\left[\psi (x)\right],$ et, si l’on change $\psi (x)$ en $x,$ on aura la fonction de $x,$ qui satisfait au Problème. Les exemples suivants éclairciront cette méthode :

Il s’agit de trouver une fonction de $x$ telle qu’en y changeant successivement $x$ en $x^{q}$ et en $mx,$ on ait

$f\left(x^{q}\right)=f(mx)+p,$

$m$ et $p$ étant constants.

Je fais $u_{z}=mx,$ et $u_{z+1}=x^{q}\,;$ partant,

$u_{z+1}=\left({\frac {u_{z}}{m}}\right)^{q}.$

Pour intégrer cette équation, je fais $u_{1}=a\,;$ donc $u_{2}={\frac {a^{q}}{m^{q}}},$$u_{3}={\frac {a^{q^{2}}}{m^{q^{2}+q}}},\ldots .$ Soit $u_{z}={\frac {a^{g_{z}}}{m^{f_{z}}}}\,;$ donc

$u_{z+1}={\frac {a^{qg_{z}}}{m^{qf_{z}+q}}}={\frac {a^{g_{z+1}}}{m^{f_{z+1}}}}.$

Donc

$g_{z+1}=qg_{z},$

ce qui donne

$g_{z}=\mathrm {A} q^{z}.$

Or, posant $z=2,\ g_{z}=q,$ d’où $\mathrm {A} ={\frac {1}{q}},$ on a $g_{z}=q^{z-1}.$ De plus, on a