Voici encore un usage remarquable du Calcul intégral aux différences finies pour déterminer la nature des fonctions d’après des conditions données, ce qui est souvent utile, principalement dans le Calcul des différences partielles [1].
On propose de trouver une fonction de telle qu’en y faisant successivement et on ait
![{\displaystyle (\sigma )\qquad \qquad \qquad \qquad f\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {H} _{x}f\left[\psi (x)\right]+\mathrm {X} _{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe5bf31a85be732fbe8dc310b7f9c1fe5a1c9a9)
et étant des fonctions données de
Soit pour cela
De la première de ces équations, je conclus
et représentant des fonctions connues de partant,
équation différentielle dont la différence constante est égale à l’unité, et que l’on peut intégrer dans plusieurs cas.
L’intégrale de cette équation donnera en fonction de et l’équation donnera en fonction de Substituant cette valeur de dans et ces quantités deviendront des fonctions de que je désigne par et De plus, on a
![{\displaystyle f\left[\varphi (x)\right]=f\left(u_{z+1}\right)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f120a6f0e909cb227c5c9066d8ee95ee4ab00d)
![{\displaystyle \quad f\left[\psi (x)\right]=f\left(u_{z}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcdb887356e379bf2f594746096b6a07c2b40b15)
- ↑ J’avais trouvé cette méthode sur la fin de 1772, à l’occasion de quelques problèmes que me proposa M. Monge, habile professeur de Mathématiques aux écoles du Génie à Mézières ; je lui en fis part alors, dans le même temps, je l’envoyai à M. de la Grange, et je l’ai présentée à l’Académie au mois de février 1773. Depuis ce temps, M. le marquis de Condorcet a fait imprimer dans le Volume de l’Académie pour l’année 1771 un fort beau Mémoire sur cet objet ; mais la route que je suis diffère de la sienne en ce qu’il ne se propose pas, comme je le fais, de ramener la question aux équations différentielles dont la différence soit constante et égale à l’unité.
