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la seconde donne

$\mathrm {B} _{n}=1.2.3\ldots n(n+1)(n+2)\left[\mathrm {H} +\sum {\frac {n}{(n+1)(n+2)(n+3)}}\right],$

ou

$\mathrm {B} _{n}=1.2.3\ldots n(n+1)(n+2)\left[\mathrm {Q} +{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}-{\frac {1}{n+2}}\right].$

On déterminera la constante $\mathrm {Q}$ par cette condition que $\mathrm {B} _{n}$ soit zéro lorsque $n=1\,;$ on a donc $\mathrm {Q} ={\frac {1}{2.2}}.$ Donc

$\mathrm {B} _{n}=1.2.3\ldots n{\frac {1}{2}}\,{\frac {n(n-1)}{1.2}}.$

La troisième équation donne, en intégrant et ajoutant les constantes convenables,

$\mathrm {C} _{n}=1.2.3\ldots n{\frac {1.3}{2.4}}\,{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}}\,;$

on trouvera pareillement

$\mathrm {D} _{n}=1.2.3\ldots n{\frac {1.3.5}{2.4.6}}\,{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{1.2.3.4.5.6}},$

et ainsi de suite. Partant,

${\frac {d^{n}z}{dx^{n}}}={\frac {1.2.3\ldots (n-1)}{\left(1-x^{2}\right)^{n-{\frac {1}{2}}}}}$

${\begin{aligned}\times &\left[x^{n-1}+{\frac {1}{2}}{\frac {(n-1)(n-2)}{1.2}}x^{n-3}\right.\\&+{\frac {1.3}{2.4}}\,{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{1.2.3.4}}x^{n-5}\\&+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}\,{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)}{1.2.3.4.5.6}}x^{n-7}\\&+{\frac {1.3.5.7}{2.4.6.8}}\,{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-8)}{1.2.3\ldots 8}}x^{n-9}\\&\left.+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right].\end{aligned}}$

J’ai supposé, dans les deux exemples précédents, la loi des exposants connue, parce qu’elle était très facile à apercevoir ; mais, s’il arrivait qu’elle fût compliquée, ce qui doit être extrêmement rare, on pourra la déterminer par la méthode précédente.