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stant. Pour cela, soit $u={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,;$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}\ \ =&{\frac {x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\\{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=&{\frac {2x^{2}+1}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}},\\{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}=&{\frac {6x^{3}+9x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Il est aisé de voir, en considérant la loi de ces expressions de $du,d^{2}u,\ldots ,$ que l’expression générale de ${\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}$ a la forme suivante

${\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}={\frac {\mathrm {A} _{n}x^{n}+\mathrm {B} _{n}x^{n-2}+\mathrm {C} _{n}x^{n-4}+\mathrm {D} _{n}x^{n-6}+\ldots }{\left(1-x^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}}}\,;$

en différenciant cette expression, on a

${\frac {d^{n+1}u}{dx^{n+1}}}=$

${\frac {\begin{array}{r|r|r|r}(n+1)\mathrm {A} _{n}x^{n+1}+(n+3)\mathrm {B} _{n}&x^{n-1}+(n+5)\mathrm {C} _{n}&x^{n-3}+(n+7)\mathrm {D} _{n}&x^{n-5}+\ldots \\+n\mathrm {A} _{n}\qquad \ \ &+(n-2)\mathrm {B} _{n}&+(n-4)\mathrm {C} _{n}&+\ldots \end{array}}{\left(1-x^{2}\right)^{n+{\frac {3}{2}}}}}\,;$

mais on a

${\frac {d^{n+1}u}{dx^{n+1}}}={\frac {\mathrm {A} _{n+1}x^{n+1}+\mathrm {B} _{n+1}x^{n-1}+\mathrm {C} _{n+1}x^{n-3}+\mathrm {D} _{n+1}x^{n-5}+\ldots }{\left(1-x^{2}\right)^{n+{\frac {3}{2}}}}}\,;$

en comparant ces deux expressions de ${\frac {d^{n+1}u}{dx^{n+1}}},$ on aura les équations suivantes :

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{n+1}=&(n+1)\mathrm {A} _{n},\\\mathrm {B} _{n+1}=&(n+3)\mathrm {B} _{n}+n\mathrm {A} _{n},\\\mathrm {C} _{n+1}=&(n+5)\mathrm {C} _{n}+(n-2)\mathrm {B} _{n},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Toutes ces équations commencent à exister à la fois et lorsque $n=1\,;$ cela posé, la première donne

$\mathrm {A} _{n}=1.2.3\ldots n\,;$