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$n=4,$ auquel cas on a $\mathrm {C_{4}=2C_{3}-B_{2}} \,;$ partant, le plus petit indice de $\mathrm {C} _{n}$ est $3,$ et ainsi de suite. Cela posé :

Si l’on intègre la première équation, on aura

$\mathrm {A} _{n}=2^{n}\mathrm {H} ,$

$\mathrm {H}$ étant arbitraire ; or, posant $n=1,\ \mathrm {A} _{n}=1,$ d’où $\mathrm {H} ={\frac {1}{2}},$ on a $\mathrm {A} _{n}=2^{n-1},$ partant $\mathrm {A} _{n-2}=2^{n-3}.$ Si l’on substitue cette valeur de $\mathrm {A} _{n-2}$ dans la seconde équation et qu’en suite on l’intègre, on aura

$\mathrm {B} _{n}=-2^{n-3}(n+\mathrm {H} )\,;$

puisque l’équation différentielle en $\mathrm {B} _{n}$ commence à exister lorsque $n=3,$ la constante arbitraire $\mathrm {H}$ doit être déterminée par la valeur de $\mathrm {B} _{n},$ lorsque $n=2\,;$ or, $u$ ne pouvant avoir d’exposant négatif dans l’expression de $\sin nz,$ il suit que $\mathrm {B} _{2}=0,$ partant $\mathrm {H} =-2\,;$ donc

$\mathrm {B} _{n}=-2^{n-3}(n-2)\qquad$et$\qquad \mathrm {B} _{n-2}=-2^{n-5}(n-4).$

Si l’on substitue cette valeur de $\mathrm {B} _{n-2}$ dans la troisième équation, et qu’en suite on l’intègre, on aura

$\mathrm {C} _{n}=2^{n-5}\left({\frac {n^{2}-7n}{2}}+\mathrm {H} \right)\,;$

or, posant $n=3,\ \mathrm {C} _{n}=0,$ d’où $\mathrm {H} =6,$ on a $\mathrm {C} _{n}=2^{n-5}{\frac {(n-3)(n-4)}{1.2}},$ et ainsi du reste. Donc

$\sin nz=x\left[2^{n-1}u^{n-1}-{\frac {n-2}{1}}2^{n-3}u^{n-3}+{\frac {(n-3)(n-4)}{1.2}}2^{n-5}u^{n-5}\ldots \right.$

$\left.-{\frac {(n-4)(n-5)(n-6)}{1.2.3}}2^{n-7}u^{n-7}+\ldots \right].$

Soit encore $z=\mathrm {angle} \,\sin x\,;$ on aura, en différenciant,

${\frac {dz}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},$

et je veux avoir l’expression générale de ${\frac {d^{n}z}{dx^{n}}},\ dx$ étant supposé con-